Номер 820, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 820, страница 213.

820 Четырёхугольник вписан в одну окружность и описан около другой. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания вписанной окружности с его противоположными сторонами, перпендикулярны.

Пусть данный четырёхугольник — $ABCD$. По условию, он является бицентрическим, то есть одновременно вписанным в одну окружность и описанным около другой.

Пусть $\omega$ — вписанная в него окружность с центром в точке $I$. Пусть точки $K, L, M, N$ — это точки касания окружности $\omega$ со сторонами $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Требуется доказать, что прямые, соединяющие точки касания на противоположных сторонах, то есть прямые $KM$ и $LN$, перпендикулярны.

Прямые $KM$ и $LN$ являются хордами вписанной окружности $\omega$. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме угловых величин дуг, которые они высекают. Пусть $P$ — точка пересечения хорд $KM$ и $LN$. Тогда угол между ними, например $\angle KPL$, вычисляется по формуле:$\angle KPL = \frac{1}{2}(\text{дуга } KL + \text{дуга } MN)$.

Угловая величина дуги равна величине соответствующего ей центрального угла. Таким образом, для доказательства перпендикулярности прямых $KM$ и $LN$ (то есть $\angle KPL = 90^\circ$), нам необходимо показать, что сумма центральных углов, опирающихся на эти дуги, равна $180^\circ$:$\angle KIL + \angle MIN = 180^\circ$.

Рассмотрим четырёхугольник $BKIL$. В нём отрезки $IK$ и $IL$ являются радиусами вписанной окружности, проведёнными в точки касания, поэтому они перпендикулярны касательным (сторонам четырёхугольника). Следовательно, $\angle IKB = \angle ILB = 90^\circ$. Сумма углов в выпуклом четырёхугольнике равна $360^\circ$, поэтому:$\angle B + \angle IKB + \angle KIL + \angle ILB = 360^\circ$$\angle B + 90^\circ + \angle KIL + 90^\circ = 360^\circ$Из этого уравнения находим $\angle KIL = 180^\circ - \angle B$.

Аналогично, рассмотрев четырёхугольник $DMIN$, в котором $\angle IMD = \angle IND = 90^\circ$ (так как $IM$ и $IN$ — радиусы, проведённые в точки касания), получим:$\angle D + \angle IMD + \angle MIN + \angle IND = 360^\circ$$\angle D + 90^\circ + \angle MIN + 90^\circ = 360^\circ$Отсюда $\angle MIN = 180^\circ - \angle D$.

Теперь найдём сумму искомых центральных углов:$\angle KIL + \angle MIN = (180^\circ - \angle B) + (180^\circ - \angle D) = 360^\circ - (\angle B + \angle D)$.

По условию задачи, четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Свойство любого вписанного (циклического) четырёхугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно:$\angle B + \angle D = 180^\circ$.

Подставим это значение в выражение для суммы центральных углов:$\angle KIL + \angle MIN = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

Теперь мы можем вычислить угол между хордами $KM$ и $LN$:$\angle KPL = \frac{1}{2}(\angle KIL + \angle MIN) = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.

Таким образом, прямые $KM$ и $LN$ пересекаются под прямым углом, то есть они перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.