Номер 819, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 819, страница 213.

819 Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Докажите, что ∠AOD + ∠BOC = ∠AOB + ∠COD.

Пусть четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности с центром в точке $O$. Это означает, что окружность является вписанной в данный четырёхугольник.

По свойству вписанной окружности, её центр $O$ является точкой пересечения биссектрис углов многоугольника. Следовательно, отрезки $AO, BO, CO, DO$ являются биссектрисами углов $\angle A, \angle B, \angle C$ и $\angle D$ четырёхугольника $ABCD$ соответственно.

Таким образом, мы можем выразить углы образованных треугольников через углы четырёхугольника:
$\angle OAD = \angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$
$\angle OBA = \angle OBC = \frac{1}{2}\angle B$
$\angle OCB = \angle OCD = \frac{1}{2}\angle C$
$\angle ODA = \angle ODC = \frac{1}{2}\angle D$

Рассмотрим треугольники, вершинами которых являются соседние вершины четырёхугольника и центр окружности $O$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

В $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$:
$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle D}{2}\right)$
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - \left(\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2}\right)$

Теперь найдём сумму этих углов:
$\angle AOD + \angle BOC = \left(180^\circ - \frac{\angle A + \angle D}{2}\right) + \left(180^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2}\right)$
$\angle AOD + \angle BOC = 360^\circ - \frac{\angle A + \angle B + \angle C + \angle D}{2}$

Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$, то есть $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. Подставим это значение в полученное выражение:
$\angle AOD + \angle BOC = 360^\circ - \frac{360^\circ}{2} = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

Проделаем аналогичные вычисления для другой пары углов, $\angle AOB$ и $\angle COD$.
Для $\triangle AOB$ и $\triangle COD$:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}\right)$
$\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^\circ - \left(\frac{\angle C}{2} + \frac{\angle D}{2}\right)$

Их сумма равна:
$\angle AOB + \angle COD = \left(180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}\right) + \left(180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2}\right)$
$\angle AOB + \angle COD = 360^\circ - \frac{\angle A + \angle B + \angle C + \angle D}{2} = 360^\circ - \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$.

Мы получили, что обе суммы углов равны $180^\circ$:
$\angle AOD + \angle BOC = 180^\circ$
$\angle AOB + \angle COD = 180^\circ$
Следовательно, $\angle AOD + \angle BOC = \angle AOB + \angle COD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle AOD + \angle BOC = \angle AOB + \angle COD$ доказано, так как обе суммы равны $180^\circ$.