Номер 814, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Дополнительные задачи - номер 814, страница 213.

Условие.

814 Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника. Обозначим радиус описанной окружности как $R$, а радиус вписанной окружности как $r$.

Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. В равностороннем треугольнике высота, опущенная из вершины, является также и медианой.

Радиус описанной окружности $R$ — это расстояние от центра треугольника до его вершины. Радиус вписанной окружности $r$ — это расстояние от центра до стороны треугольника (длина перпендикуляра, опущенного из центра на сторону).

Следовательно, высота (и медиана) делится центром треугольника на два отрезка, длины которых равны $R$ и $r$. Согласно свойству точки пересечения медиан, отрезок от вершины до центра в два раза длиннее отрезка от центра до стороны. Таким образом, для равностороннего треугольника справедливо соотношение:

$R = 2r$

По условию задачи, радиус описанной окружности $R = 10$ см. Подставим это значение в полученную формулу, чтобы найти радиус вписанной окружности $r$:

$10 \text{ см} = 2r$

Отсюда выражаем $r$:

$r = \frac{10 \text{ см}}{2}$

$r = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.