Номер 823, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Дополнительные задачи - номер 823, страница 213.

Условие.

823 Прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁, содержащие высоты остроугольного треугольника АВС, пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁. Докажите, что эти прямые содержат биссектрисы треугольника А₁В₁С₁.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Доказательство:

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$. Прямые, содержащие его высоты, пересекают описанную около него окружность в точках $A_1, B_1, C_1$. Нам необходимо доказать, что прямая $AA_1$ является биссектрисой угла $\angle C_1A_1B_1$, прямая $BB_1$ — биссектрисой угла $\angle A_1B_1C_1$, и прямая $CC_1$ — биссектрисой угла $\angle B_1C_1A_1$.

В силу симметрии задачи достаточно доказать утверждение для одной из вершин, например, для вершины $A_1$. То есть докажем, что прямая $AA_1$ делит угол $\angle C_1A_1B_1$ пополам.

Для того чтобы прямая $AA_1$ была биссектрисой угла $\angle C_1A_1B_1$, необходимо и достаточно, чтобы углы, на которые она его делит, были равны, то есть $\angle C_1A_1A = \angle B_1A_1A$.

Углы $\angle C_1A_1A$ и $\angle B_1A_1A$ — это вписанные углы в описанную окружность треугольника $ABC$. Угол $\angle C_1A_1A$ опирается на дугу $C_1A$. Угол $\angle B_1A_1A$ опирается на дугу $B_1A$.

Следовательно, для доказательства равенства углов $\angle C_1A_1A = \angle B_1A_1A$ достаточно доказать равенство дуг, на которые они опираются: $\text{дуга } C_1A = \text{дуга } B_1A$.

Равенство дуг равносильно равенству любых вписанных углов, опирающихся на эти дуги. Рассмотрим вписанные углы $\angle C_1CA$ и $\angle B_1BA$. Угол $\angle C_1CA$ опирается на дугу $C_1A$. Угол $\angle B_1BA$ опирается на дугу $B_1A$. Докажем, что $\angle C_1CA = \angle B_1BA$.

Пусть $H_B$ и $H_C$ — основания высот, опущенных из вершин $B$ и $C$ на стороны $AC$ и $AB$ соответственно.

Прямая $CC_1$ содержит высоту $CH_C$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH_C$ ($\angle AH_CC = 90^\circ$). В нём $\angle ACH_C = 90^\circ - \angle BAC$. Поскольку точки $C$, $H_C$ и $C_1$ лежат на одной прямой, то $\angle C_1CA = \angle H_CCA = \angle ACH_C = 90^\circ - \angle BAC$.

Прямая $BB_1$ содержит высоту $BH_B$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH_B$ ($\angle AH_BA = 90^\circ$). В нём $\angle ABH_B = 90^\circ - \angle BAC$. Поскольку точки $B$, $H_B$ и $B_1$ лежат на одной прямой, то $\angle B_1BA = \angle H_BBA = \angle ABH_B = 90^\circ - \angle BAC$.

Мы получили, что $\angle C_1CA = 90^\circ - \angle BAC$ и $\angle B_1BA = 90^\circ - \angle BAC$. Следовательно, $\angle C_1CA = \angle B_1BA$.

Так как вписанные углы $\angle C_1CA$ и $\angle B_1BA$ равны, то и дуги, на которые они опираются, равны: $\text{дуга } C_1A = \text{дуга } B_1A$.

Из равенства дуг следует равенство вписанных углов $\angle C_1A_1A$ и $\angle B_1A_1A$, которые на них опираются. Таким образом, прямая $AA_1$ является биссектрисой угла $\angle C_1A_1B_1$.

Аналогично, рассматривая углы при вершинах $B$ и $C$ треугольника $ABC$, можно доказать, что:

• $\angle A_1B_1B = \angle C_1B_1B$, так как оба соответствующих вписанных угла (например, $\angle A_1AB$ и $\angle C_1CB$) равны $90^\circ - \angle ABC$. Значит, $BB_1$ — биссектриса $\angle A_1B_1C_1$.
• $\angle B_1C_1C = \angle A_1C_1C$, так как оба соответствующих вписанных угла (например, $\angle B_1BC$ и $\angle A_1AC$) равны $90^\circ - \angle BCA$. Значит, $CC_1$ — биссектриса $\angle B_1C_1A_1$.

Таким образом, прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ содержат биссектрисы треугольника $A_1B_1C_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.