Номер 828, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 828, страница 214.

828 Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Пусть $A, B, C, D$ — вершины произвольного четырехугольника. Мы должны доказать, что либо вершины $A$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $BD$, либо вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$.

Рассмотрим выпуклую оболочку множества точек $\{A, B, C, D\}$. Выпуклая оболочка — это наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все четыре точки. Возможны два основных случая (не считая вырожденных, когда три или четыре точки лежат на одной прямой).

В первом случае выпуклая оболочка сама является четырехугольником. Это означает, что четырехугольник $ABCD$ является выпуклым. В выпуклом четырехугольнике диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются во внутренней точке $P$. Поскольку точка $P$ лежит на отрезке $AC$, то прямая $AC$ разделяет плоскость так, что точки $B$ и $D$ оказываются в разных полуплоскостях. Следовательно, вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Аналогично, поскольку точка $P$ лежит на отрезке $BD$, прямая $BD$ разделяет плоскость так, что вершины $A$ и $C$ оказываются в разных полуплоскостях. Таким образом, для выпуклого четырехугольника утверждение справедливо даже для обеих пар противоположных вершин.

Во втором случае выпуклая оболочка является треугольником. Это означает, что одна из вершин лежит внутри треугольника, образованного тремя другими. Пусть, для определенности, вершина $D$ лежит внутри треугольника $ABC$. Простой (несамопересекающийся) четырехугольник, который можно построить на этих вершинах, — это, например, $ABDC$ (с последовательностью сторон $AB, BD, DC, CA$). Противоположными вершинами в этом четырехугольнике являются пары $(A, D)$ и $(B, C)$. Рассмотрим прямую, проходящую через вершины $A$ и $D$. Эта прямая проходит через вершину $A$ треугольника $ABC$ и его внутреннюю точку $D$. Любая прямая, проходящая через вершину треугольника и его внутреннюю точку, пересекает противолежащую сторону. В нашем случае прямая $AD$ пересекает сторону $BC$. Это означает, что точки $B$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $AD$. Таким образом, мы нашли пару противоположных вершин ($B$ и $C$), которые лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины ($A$ и $D$). Утверждение задачи доказано и для невыпуклого четырехугольника.

Наконец, рассмотрим вырожденный случай, когда три вершины, например $A, B, C$, лежат на одной прямой, причем $B$ между $A$ и $C$. Четвертая вершина $D$ не лежит на этой прямой. В четырехугольнике $ABCD$ противоположными являются вершины $(A, C)$ и $(B, D)$. Прямая, проходящая через $B$ и $D$, пересекает прямую $AC$ в точке $B$. Так как $B$ лежит между $A$ и $C$, точки $A$ и $C$ находятся по разные стороны от прямой $BD$. Утверждение снова выполняется.

Таким образом, во всех возможных случаях утверждение оказывается верным.

Ответ: Утверждение доказано. В зависимости от того, является ли четырехугольник выпуклым или невыпуклым, одна из его диагоналей (или обе) будет разделять две оставшиеся вершины. Следовательно, всегда найдется пара противоположных вершин, лежащих по разные стороны от прямой, соединяющей две другие вершины.