Номер 834, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 834, страница 214.

834 При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=CD=a$ и $BC=AD=b$. Проведём биссектрисы всех его углов. Пусть $l_A, l_B, l_C, l_D$ — это прямые, содержащие биссектрисы углов $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ соответственно.

Четырёхугольник, о котором идёт речь в задаче, образован пересечением этих четырёх прямых. Обозначим его вершины как $P, Q, R, S$, где:

• $P$ — точка пересечения биссектрис $l_A$ и $l_D$.
• $Q$ — точка пересечения биссектрис $l_A$ и $l_B$.
• $R$ — точка пересечения биссектрис $l_B$ и $l_C$.
• $S$ — точка пересечения биссектрис $l_C$ и $l_D$.

Таким образом, стороны четырёхугольника $PQRS$ — это отрезки $PQ$ (на прямой $l_A$), $QR$ (на прямой $l_B$), $RS$ (на прямой $l_C$) и $SP$ (на прямой $l_D$). Для доказательства того, что $PQRS$ является квадратом, нам нужно показать, что это прямоугольник (все углы прямые) и что его смежные стороны равны.

1. Докажем, что $PQRS$ — прямоугольник.

Все углы исходного прямоугольника $ABCD$ равны $90^\circ$. Биссектриса делит каждый угол на два равных угла по $45^\circ$.

Рассмотрим угол $\angle PQR$. Этот угол образован пересечением прямых $l_A$ и $l_B$. Эти прямые вместе со стороной $AB$ образуют треугольник $\triangle AQB$.

В треугольнике $\triangle AQB$ углы при основании $AB$ равны:
$\angle QAB = \frac{1}{2}\angle DAB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$
$\angle QBA = \frac{1}{2}\angle CBA = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, третий угол $\triangle AQB$ равен:
$\angle AQB = 180^\circ - (\angle QAB + \angle QBA) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$

Угол $\angle PQR$ четырёхугольника $PQRS$ совпадает с углом $\angle AQB$, значит, $\angle PQR = 90^\circ$.

Аналогично, рассматривая треугольники $\triangle BRC$, $\triangle CSD$ и $\triangle DPA$, мы находим, что остальные углы четырёхугольника также равны $90^\circ$:

• $\angle QRS = 90^\circ$ (из $\triangle BRC$)
• $\angle RSP = 90^\circ$ (из $\triangle CSD$)
• $\angle SPQ = 90^\circ$ (из $\triangle DPA$)

Поскольку все четыре угла четырёхугольника $PQRS$ прямые, он является прямоугольником.

2. Докажем, что смежные стороны прямоугольника $PQRS$ равны.

Для того чтобы доказать, что прямоугольник $PQRS$ является квадратом, достаточно показать равенство двух его смежных сторон, например, $PQ = QR$.

Найдём длину стороны $PQ$. Она лежит на биссектрисе $l_A$ и представляет собой отрезок, соединяющий точки $P$ и $Q$. Длина этого отрезка равна $|AQ - AP|$.

В треугольнике $\triangle AQB$, как мы выяснили, углы при основании $AB$ равны $45^\circ$, значит, он равнобедренный и прямоугольный. По теореме синусов:
$\frac{AQ}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 90^\circ} \implies AQ = AB \cdot \sin 45^\circ = a \frac{\sqrt{2}}{2}$

Аналогично, $\triangle DPA$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. По теореме синусов:
$\frac{AP}{\sin 45^\circ} = \frac{AD}{\sin 90^\circ} \implies AP = AD \cdot \sin 45^\circ = b \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь можем найти длину стороны $PQ$:
$PQ = |AQ - AP| = |a \frac{\sqrt{2}}{2} - b \frac{\sqrt{2}}{2}| = \frac{\sqrt{2}}{2}|a-b|$

Теперь найдём длину смежной стороны $QR$. Она лежит на биссектрисе $l_B$, и её длина равна $|BQ - BR|$.

Из равнобедренного прямоугольного треугольника $\triangle AQB$ имеем $BQ = AQ = a \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из равнобедренного прямоугольного треугольника $\triangle BRC$ (с основанием $BC=b$) имеем:
$\frac{BR}{\sin 45^\circ} = \frac{BC}{\sin 90^\circ} \implies BR = BC \cdot \sin 45^\circ = b \frac{\sqrt{2}}{2}$

Длина стороны $QR$:
$QR = |BQ - BR| = |a \frac{\sqrt{2}}{2} - b \frac{\sqrt{2}}{2}| = \frac{\sqrt{2}}{2}|a-b|$

Мы получили, что $PQ = QR$. Так как в прямоугольнике $PQRS$ смежные стороны равны, этот прямоугольник является квадратом.

Ответ: Мы доказали, что четырёхугольник, образованный пересечением биссектрис всех углов прямоугольника, является прямоугольником (все углы по $90^\circ$) и ромбом (смежные стороны равны). Следовательно, этот четырёхугольник — квадрат. Что и требовалось доказать.