Номер 829, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 829, страница 214.

Условие.

829 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Прямая, проведённая через точку D перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е. Точки М и K — основания перпендикуляров, проведённых из точек В и D к прямой АС. Найдите МK, если АЕ = а.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 11.

Для решения задачи воспользуемся методом вспомогательных построений и проекций.

Решение:

1. Проведем прямую через точки $D$ и $E$. Пусть она пересекает прямую $AB$ в точке $F$. Рассмотрим треугольник $\triangle AFE$. По условию, $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Так как точки $F$, $A$, $B$ лежат на одной прямой, а точки $E$, $A$, $C$ — на другой, то $AD$ является также биссерисой угла $\angle FAE$.

2. По условию, прямая $DE$ (а значит и $FE$) перпендикулярна биссектрисе $AD$. Таким образом, в треугольнике $\triangle AFE$ биссектриса $AD$, проведенная из вершины $A$, является также высотой, опущенной на сторону $FE$. Это свойство равнобедренного треугольника, следовательно, $\triangle AFE$ — равнобедренный с основанием $FE$. Отсюда следует, что $AF = AE$. Так как по условию $AE = a$, то и $AF = a$. Кроме того, в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, поэтому точка $D$ — середина отрезка $FE$.

3. Нам необходимо найти длину отрезка $MK$. Точки $M$ и $K$ — это основания перпендикуляров, опущенных из точек $B$ и $D$ на прямую $AC$. Это означает, что $M$ и $K$ являются ортогональными проекциями точек $B$ и $D$ на прямую $AC$. Длину $MK$ можно найти как $|AM - AK|$.

4. Найдем длину отрезка $AK$. Так как $K$ — проекция точки $D$ на прямую $AC$, а $D$ — середина отрезка $FE$, то по свойству ортогональной проекции, точка $K$ будет серединой проекции отрезка $FE$ на прямую $AC$. Проекцией точки $E$ на прямую $AC$ является сама точка $E$. Обозначим проекцию точки $F$ на прямую $AC$ как $F'$. Тогда $K$ — середина отрезка $F'E$.

Введем систему координат, в которой точка $A$ — начало координат, а прямая $AC$ — ось абсцисс. Тогда точка $E$ имеет координаты $(a, 0)$. Пусть $\angle BAC = 2\alpha$. Точка $F$ лежит на прямой $AB$ на расстоянии $a$ от $A$. Ее координаты будут $(a \cos(2\alpha), a \sin(2\alpha))$. Тогда проекция $F'$ точки $F$ на ось абсцисс имеет координаты $(a \cos(2\alpha), 0)$.

Координата точки $K$ как середины отрезка $F'E$ равна полусумме координат точек $F'$ и $E$:
$x_K = \frac{x_{F'} + x_E}{2} = \frac{a \cos(2\alpha) + a}{2} = \frac{a(1 + \cos(2\alpha))}{2}$.
Следовательно, $AK = x_K = \frac{a(1 + \cos(2\alpha))}{2}$.

5. Найдем длину отрезка $AM$. Точка $M$ — проекция вершины $B$ на основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, $M$ — середина основания $AC$, и $AM = \frac{1}{2}AC$.

6. Свяжем длину $AC$ с величиной $a$. Для этого применим теорему Менелая для треугольника $\triangle ABC$ и секущей $FDE$. По теореме Менелая (для длин отрезков):
$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$.
Из свойства биссектрисы $AD$ в треугольнике $\triangle ABC$ имеем: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.
Подставим известные величины: $AF=a$, $EA=a$. Обозначим $AB=b$ и $AC=c$. Тогда $FB = |AB - AF| = |b-a|$, $CE = |AC - AE| = |c-a|$.
$\frac{a}{|b-a|} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{|c-a|}{a} = 1 \implies b|c-a| = c|b-a|$.
Это соотношение означает, что $a$ является гармоническим средним для $b$ и $c$: $\frac{2}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle ABM$ (где $\angle AMB = 90^\circ$ и $\angle BAM = 2\alpha$) имеем $AM = AB \cos(2\alpha)$, то есть $\frac{c}{2} = b \cos(2\alpha)$, откуда $b = \frac{c}{2\cos(2\alpha)}$.
Подставим это в формулу гармонического среднего:
$\frac{2}{a} = \frac{2\cos(2\alpha)}{c} + \frac{1}{c} = \frac{1+2\cos(2\alpha)}{c}$.
Отсюда выразим $c = AC$: $AC = \frac{a(1+2\cos(2\alpha))}{2}$.

7. Теперь можем найти $AM$:
$AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a(1+2\cos(2\alpha))}{2} = \frac{a(1+2\cos(2\alpha))}{4}$.

8. Наконец, вычисляем $MK$:
$MK = |AK - AM| = \left| \frac{a(1+\cos(2\alpha))}{2} - \frac{a(1+2\cos(2\alpha))}{4} \right|$.
Приведем к общему знаменателю 4:
$MK = \frac{a}{4} \left| 2(1+\cos(2\alpha)) - (1+2\cos(2\alpha)) \right|$.
$MK = \frac{a}{4} \left| 2 + 2\cos(2\alpha) - 1 - 2\cos(2\alpha) \right|$.
$MK = \frac{a}{4} |1| = \frac{a}{4}$.

Ответ: $MK = \frac{a}{4}$.