Номер 825, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 825, страница 214.

825 Положительные числа а₁, a₂, a₃, a₄, а₅ и а₆ удовлетворяют условиям а₁ − а₄ = а₅ − а₂ = а₃ − a₆. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆, все углы которого равны, причём A₁A₂ = a₁, A₂A₃ = a₂, A₃A₄ = a₃, A₄A₅ = a₄, A₅A₆ = a₅ и A₆A₁ = a₆.

Для доказательства утверждения мы приведем конструктивный способ построения искомого шестиугольника. Требуется доказать, что существует выпуклый шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, все углы которого равны, а стороны имеют заданные положительные длины $a_1, a_2, \dots, a_6$.

Сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника равна $(6-2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$. Если все шесть углов равны, то каждый из них должен быть равен $720^\circ / 6 = 120^\circ$.

Выпуклый шестиугольник, все углы которого равны $120^\circ$, можно получить, отсекая от углов некоторого равностороннего треугольника три меньших равносторонних треугольника. Воспользуемся этим методом для построения. Пусть имеется большой равносторонний треугольник $T$ со стороной $L$. Отсечем от его трех углов три маленьких равносторонних треугольника со сторонами $x, y, z$. В результате получится выпуклый шестиугольник, все углы которого равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Длины сторон этого шестиугольника, если обходить его против часовой стрелки, будут последовательно равны $a'_1 = L - x - y$, $a'_2 = y$, $a'_3 = L - y - z$, $a'_4 = z$, $a'_5 = L - z - x$ и $a'_6 = x$.

Наша задача — показать, что для заданных положительных чисел $a_1, \dots, a_6$, удовлетворяющих условию $a_1 - a_4 = a_5 - a_2 = a_3 - a_6$, можно подобрать такие положительные $L, x, y, z$, чтобы стороны построенного шестиугольника были равны заданным числам, то есть $a'_i = a_i$ для всех $i=1, \dots, 6$.

Приравнивая соответствующие стороны, мы можем определить $x, y, z$ через заданные длины $a_i$:

$x = a_6$
$y = a_2$
$z = a_4$

Поскольку по условию задачи числа $a_2, a_4, a_6$ положительны, то и длины сторон отсекаемых треугольников $x, y, z$ однозначно определены и также положительны.

Далее определим длину стороны большого треугольника $L$ из оставшихся равенств:

$L = a_1 + x + y = a_1 + a_6 + a_2$
$L = a_3 + y + z = a_3 + a_2 + a_4$
$L = a_5 + z + x = a_5 + a_4 + a_6$

Необходимо убедиться, что эти три выражения для $L$ дают одно и то же значение. Для этого воспользуемся данным в условии равенством $a_1 - a_4 = a_5 - a_2 = a_3 - a_6$.
Сравним первое и второе выражения для $L$: равенство $a_1 + a_6 + a_2 = a_3 + a_2 + a_4$ эквивалентно $a_1 + a_6 = a_3 + a_4$, или $a_1 - a_4 = a_3 - a_6$. Это следует из условия.
Сравним второе и третье выражения: $a_3 + a_2 + a_4 = a_5 + a_4 + a_6$ эквивалентно $a_3 + a_2 = a_5 + a_6$, или $a_3 - a_6 = a_5 - a_2$. Это также следует из условия. Таким образом, все три выражения для $L$ равны, и сторона $L$ определена корректно: $L = a_1 + a_2 + a_6$.

Наконец, проверим, что такое построение геометрически корректно. Для этого необходимо, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых от одной стороны большого треугольника, не превышала длину самой стороны. Например, $x + y \le L$.

$x + y \le L \Leftrightarrow a_6 + a_2 \le a_1 + a_2 + a_6 \Leftrightarrow 0 \le a_1$.
$y + z \le L \Leftrightarrow a_2 + a_4 \le a_3 + a_2 + a_4 \Leftrightarrow 0 \le a_3$.
$z + x \le L \Leftrightarrow a_4 + a_6 \le a_5 + a_4 + a_6 \Leftrightarrow 0 \le a_5$.

Поскольку по условию все числа $a_i$ положительны, все эти неравенства выполняются (причем строго: $0 < a_i$), что гарантирует, что вершины шестиугольника не совпадают.

Мы показали, как для любых положительных чисел $a_1, \dots, a_6$, удовлетворяющих заданному условию, можно построить выпуклый шестиугольник с равными углами и заданными длинами сторон. Это доказывает его существование.

Ответ: Что и требовалось доказать.