Номер 843, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 843, страница 215.

843 На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки М и K. Отрезки АK и ВМ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника СМK, если площади треугольников ОМА, ОAB и ОВK равны соответственно S₁, S₂ , S₃.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством площадей треугольников: отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению длин их оснований. Также будем использовать свойство площадей треугольников, образованных пересекающимися диагоналями в выпуклом четырехугольнике.

Обозначим искомое значение площади треугольника $CMK$ как $S_{CMK}$. Также введем обозначения для площадей треугольников $CMO$ и $CKO$: $S_{CMO} = x$ и $S_{CKO} = y$.

1. Найдем соотношения между площадями, используя общие вершины и основания на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMO$ и $\triangle CMO$. У них общая высота, проведенная из вершины $O$ к стороне $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований:$ \frac{S_{CMO}}{S_{AMO}} = \frac{CM}{AM} $

Аналогично для треугольников $\triangle CMB$ и $\triangle AMB$, имеющих общую высоту из вершины $B$:$ \frac{S_{CMB}}{S_{AMB}} = \frac{CM}{AM} $

Приравнивая эти два выражения, получаем:$ \frac{S_{CMO}}{S_{AMO}} = \frac{S_{CMB}}{S_{AMB}} $

Подставим известные и введенные значения: $S_{AMO}=S_1$, $S_{AMB} = S_{AMO} + S_{OAB} = S_1 + S_2$, $S_{CMB} = S_{CMO} + S_{CKO} + S_{OBK} = x + y + S_3$.$ \frac{x}{S_1} = \frac{x+y+S_3}{S_1+S_2} $$ x(S_1+S_2) = S_1(x+y+S_3) $$ xS_1 + xS_2 = xS_1 + S_1y + S_1S_3 $$ xS_2 - S_1y = S_1S_3 $ (1)

2. Получим второе уравнение для $x$ и $y$.

Рассмотрим треугольники $\triangle CKO$ и $\triangle BKO$. У них общая высота из вершины $O$ к стороне $BC$.$ \frac{S_{CKO}}{S_{BKO}} = \frac{CK}{KB} $

Аналогично для треугольников $\triangle CKA$ и $\triangle BKA$, имеющих общую высоту из вершины $A$:$ \frac{S_{CKA}}{S_{BKA}} = \frac{CK}{KB} $

Приравнивая выражения, получаем:$ \frac{S_{CKO}}{S_{BKO}} = \frac{S_{CKA}}{S_{BKA}} $

Подставим известные значения: $S_{BKO}=S_3$, $S_{BKA} = S_{OAB} + S_{OBK} = S_2 + S_3$, $S_{CKA} = S_{CKO} + S_{CMO} + S_{AMO} = y + x + S_1$.$ \frac{y}{S_3} = \frac{x+y+S_1}{S_2+S_3} $$ y(S_2+S_3) = S_3(x+y+S_1) $$ yS_2 + yS_3 = xS_3 + yS_3 + S_1S_3 $$ yS_2 - xS_3 = S_1S_3 $ (2)

3. Решим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$.

Система уравнений:$ \begin{cases} S_2 x - S_1 y = S_1 S_3 \\ S_2 y - S_3 x = S_1 S_3 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = \frac{S_1 y + S_1 S_3}{S_2}$.Подставим во второе уравнение:$ S_2 y - S_3 \left( \frac{S_1 y + S_1 S_3}{S_2} \right) = S_1 S_3 $

Умножим обе части на $S_2$:$ S_2^2 y - S_3(S_1 y + S_1 S_3) = S_1 S_2 S_3 $$ S_2^2 y - S_1 S_3 y - S_1 S_3^2 = S_1 S_2 S_3 $$ y(S_2^2 - S_1 S_3) = S_1 S_2 S_3 + S_1 S_3^2 $$ y(S_2^2 - S_1 S_3) = S_1 S_3 (S_2 + S_3) $$ y = S_{CKO} = \frac{S_1 S_3 (S_2 + S_3)}{S_2^2 - S_1 S_3} $

4. Найдем площадь $S_{CMK}$.

Для нахождения $S_{CMK}$ воспользуемся отношением $ \frac{CK}{KB} = \frac{S_{CMK}}{S_{BMK}} $.Мы уже знаем, что $ \frac{CK}{KB} = \frac{y}{S_3} $.Следовательно, $ S_{CMK} = \frac{y}{S_3} S_{BMK} $.

Площадь $\triangle BMK$ равна сумме площадей $\triangle BOK$ и $\triangle MOK$: $S_{BMK} = S_{BOK} + S_{MOK} = S_3 + S_{MOK}$.Площадь $\triangle MOK$ можно найти из свойства площадей четырехугольника $AMKB$, в котором диагонали $AK$ и $BM$ пересекаются в точке $O$. Для такого четырехугольника выполняется равенство произведений площадей "противоположных" треугольников: $S_{AOM} \cdot S_{BOK} = S_{AOB} \cdot S_{MOK}$.$ S_1 \cdot S_3 = S_2 \cdot S_{MOK} \Rightarrow S_{MOK} = \frac{S_1 S_3}{S_2} $.

Теперь найдем $S_{BMK}$:$ S_{BMK} = S_3 + \frac{S_1 S_3}{S_2} = S_3 \left( 1 + \frac{S_1}{S_2} \right) = S_3 \frac{S_2+S_1}{S_2} $.

Подставим $S_{BMK}$ в формулу для $S_{CMK}$:$ S_{CMK} = \frac{y}{S_3} \cdot S_3 \frac{S_1+S_2}{S_2} = y \frac{S_1+S_2}{S_2} $.

Наконец, подставим найденное ранее выражение для $y$:$ S_{CMK} = \frac{S_1 S_3 (S_2 + S_3)}{S_2^2 - S_1 S_3} \cdot \frac{S_1+S_2}{S_2} = \frac{S_1 S_3 (S_1 + S_2)(S_2 + S_3)}{S_2(S_2^2 - S_1 S_3)} $.

Ответ: $ \frac{S_1 S_3 (S_1 + S_2)(S_2 + S_3)}{S_2(S_2^2 - S_1 S_3)} $