Номер 849, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 849, страница 216.

849 Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках М и K. Докажите, что площади треугольников DCM и АKВ равны.

Пусть $E$ — середина диагонали $AC$, а $F$ — середина диагонали $BD$ четырёхугольника $ABCD$. По условию, прямая проходит через точки $E$ и $F$. Эта же прямая пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Обозначим эту прямую как $l$.

Докажем вспомогательное свойство этой прямой. Для любой точки $P$ на плоскости введём понятие знакового расстояния $d(P, l)$ до прямой $l$. Это расстояние положительно, если точка находится по одну сторону от прямой, и отрицательно, если по другую.

Поскольку точка $E$ является серединой отрезка $AC$ и лежит на прямой $l$, её расстояние до $l$ равно нулю. Расстояние от середины отрезка до прямой равно среднему арифметическому расстояний от его концов. Таким образом:$d(E, l) = \frac{d(A, l) + d(C, l)}{2} = 0$Из этого следует, что $d(A, l) + d(C, l) = 0$, или $d(A, l) = -d(C, l)$.Это означает, что точки $A$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$, но по разные стороны от неё.

Аналогично, так как $F$ — середина отрезка $BD$ и лежит на прямой $l$:$d(F, l) = \frac{d(B, l) + d(D, l)}{2} = 0$Отсюда $d(B, l) + d(D, l) = 0$, или $d(B, l) = -d(D, l)$.Это означает, что точки $B$ и $D$ также находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$, но по разные стороны от неё.

Теперь перейдём к доказательству равенства площадей $S_{\triangle DCM}$ и $S_{\triangle AKB}$. Для удобства будем использовать понятие знаковой площади, которая может быть положительной или отрицательной в зависимости от ориентации вершин. Обычная геометрическая площадь является модулем знаковой.

Знаковую площадь многоугольника $P_1P_2...P_n$ можно выразить через знаковые площади треугольников с общей вершиной $O$ по формуле: $S_{P_1P_2...P_n} = S_{OP_1P_2} + S_{OP_2P_3} + \dots + S_{OP_nP_1}$.

Выразим знаковую площадь $\triangle DCM$, выбрав в качестве общей вершины точку $K$, которая лежит на прямой $CD$:$S_{DCM} = S_{KDC} + S_{KCM} + S_{KMD}$Поскольку точки $K$, $D$, $C$ лежат на одной прямой, знаковая площадь треугольника $KDC$ равна нулю. Таким образом:$S_{DCM} = S_{KCM} + S_{KMD}$

Аналогично выразим знаковую площадь $\triangle AKB$, выбрав в качестве общей вершины точку $M$, которая лежит на прямой $AB$:$S_{AKB} = S_{MAK} + S_{MKB} + S_{MBA}$Поскольку точки $M$, $A$, $B$ лежат на одной прямой, знаковая площадь треугольника $MBA$ равна нулю. Таким образом:$S_{AKB} = S_{MAK} + S_{MKB}$

Знаковая площадь треугольника, одна из сторон которого лежит на прямой $l$, может быть выражена через длину этой стороны и знаковое расстояние от третьей вершины до прямой $l$. Пусть длина отрезка $MK$ равна $L$. Ориентируем прямую $l$ от $M$ к $K$. Тогда:$S_{KCM} = S_{K,C,M} = -S_{MKC}$. Площадь $S_{MKC} = \frac{1}{2} L \cdot d(C,l)$. Значит, $S_{KCM} = -\frac{1}{2} L \cdot d(C,l)$.$S_{KMD} = S_{K,M,D} = -S_{MKD}$. Площадь $S_{MKD} = \frac{1}{2} L \cdot d(D,l)$. Значит, $S_{KMD} = -\frac{1}{2} L \cdot d(D,l)$.$S_{MAK} = S_{M,A,K}$. Площадь $S_{MKA} = \frac{1}{2} L \cdot d(A,l)$. Значит, $S_{MAK} = -\frac{1}{2} L \cdot d(A,l)$.$S_{MKB} = S_{M,K,B}$. Площадь $S_{MKB} = \frac{1}{2} L \cdot d(B,l)$.

Подставим эти выражения в формулы для площадей:$S_{DCM} = S_{KCM} + S_{KMD} = -\frac{1}{2} L \cdot d(C,l) - \frac{1}{2} L \cdot d(D,l) = -\frac{1}{2} L (d(C,l) + d(D,l))$.$S_{AKB} = S_{MAK} + S_{MKB} = -\frac{1}{2} L \cdot d(A,l) + \frac{1}{2} L \cdot d(B,l) = \frac{1}{2} L (d(B,l) - d(A,l))$.

Используем ранее полученные соотношения $d(A, l) = -d(C, l)$ и $d(B, l) = -d(D, l)$. Подставим их в выражение для $S_{AKB}$:$S_{AKB} = \frac{1}{2} L (d(B,l) - d(A,l)) = \frac{1}{2} L ((-d(D, l)) - (-d(C, l))) = \frac{1}{2} L (d(C, l) - d(D, l))$.

Теперь сравним знаковые площади $S_{DCM}$ и $S_{AKB}$:$S_{DCM} = -\frac{1}{2} L (d(C,l) + d(D,l))$$S_{AKB} = \frac{1}{2} L (d(C,l) - d(D,l))$Кажется, в вычислениях знаков была допущена ошибка. Вернемся к формуле $S_{PQR} = S_{OPQ} + S_{OQR} + S_{ORP}$.$S_{DCM} = S_{KDC} + S_{KCM} + S_{KMD} = 0 + S_{KCM} + S_{KMD}$.$S_{AKB} = S_{MAK} + S_{MKB} + S_{MBA} = S_{MAK} + S_{MKB} + 0$.$S_{KCM} = \frac{1}{2} \vec{KC} \times \vec{KM}$. $S_{KMD} = \frac{1}{2} \vec{KM} \times \vec{KD}$.$S_{DCM} = \frac{1}{2} (\vec{KC} \times \vec{KM} + \vec{KM} \times \vec{KD}) = \frac{1}{2} \vec{KM} \times (\vec{KD} - \vec{KC}) = \frac{1}{2} \vec{KM} \times \vec{CD}$.Аналогично,$S_{MAK} = \frac{1}{2} \vec{MA} \times \vec{MK}$. $S_{MKB} = \frac{1}{2} \vec{MK} \times \vec{MB}$.$S_{AKB} = \frac{1}{2} (\vec{MA} \times \vec{MK} + \vec{MK} \times \vec{MB}) = \frac{1}{2} \vec{MK} \times (\vec{MB} - \vec{MA}) = \frac{1}{2} \vec{MK} \times \vec{AB}$.Итак, нам нужно доказать, что $| \frac{1}{2} \vec{KM} \times \vec{CD} | = | \frac{1}{2} \vec{MK} \times \vec{AB} |$.Это эквивалентно $S_{MKC} + S_{MKD} = S_{MKA} + S_{MKB}$ (обычные площади).$S_{MKC} = \frac{1}{2} MK \cdot |d(C,l)|$. $S_{MKD} = \frac{1}{2} MK \cdot |d(D,l)|$.$S_{MKA} = \frac{1}{2} MK \cdot |d(A,l)|$. $S_{MKB} = \frac{1}{2} MK \cdot |d(B,l)|$.Из $d(A, l) = -d(C, l)$ следует $|d(A, l)| = |d(C, l)|$, поэтому $S_{MKA} = S_{MKC}$.Из $d(B, l) = -d(D, l)$ следует $|d(B, l)| = |d(D, l)|$, поэтому $S_{MKB} = S_{MKD}$.Площадь $\triangle DCM$ можно рассматривать как сумму или разность площадей $\triangle CKM$ и $\triangle DKM$. Так как $C$ и $D$ находятся по разные стороны от прямой $l$, а точки $M,K$ лежат на $l$, то отрезок $CD$ пересекает прямую $l$. Точка $K$ лежит на прямой $CD$, но не обязательно между $C$ и $D$.Рассмотрим площади треугольников с общей вершиной $M$:$S_{\triangle DCM} = S_{\triangle MCD}$. Разность площадей $S_{\triangle MCD}$ и $S_{\triangle MAB}$ ...Давайте используем другой подход, основанный на доказанном свойстве прямой $l$.Для любой точки $P$ на прямой $l$ (прямой Гаусса) выполняется равенство: $S_{\triangle PAB} + S_{\triangle PCD} = S_{\triangle PBC} + S_{\triangle PDA}$.Возьмем в качестве точки $P$ точку $M$. Так как $M$ лежит на прямой $AB$, то $\triangle MAB$ вырожден и его площадь равна нулю ($S_{\triangle MAB}=0$).Тогда равенство принимает вид: $0 + S_{\triangle MCD} = S_{\triangle MBC} + S_{\triangle MDA}$.$S_{\triangle DCM} = S_{\triangle MDA} + S_{\triangle MBC}$.Теперь возьмем в качестве точки $P$ точку $K$. Так как $K$ лежит на прямой $CD$, то $\triangle KCD$ вырожден и его площадь равна нулю ($S_{\triangle KCD}=0$).Равенство принимает вид: $S_{\triangle KAB} + 0 = S_{\triangle KBC} + S_{\triangle KDA}$.$S_{\triangle AKB} = S_{\triangle KDA} + S_{\triangle KBC}$.Нам нужно доказать, что $S_{\triangle DCM} = S_{\triangle AKB}$, то есть:$S_{\triangle MDA} + S_{\triangle MBC} = S_{\triangle KDA} + S_{\triangle KBC}$$S_{\triangle MDA} - S_{\triangle KDA} = S_{\triangle KBC} - S_{\triangle MBC}$Рассмотрим левую часть: $S_{\triangle MDA} - S_{\triangle KDA}$. Эти треугольники имеют общее основание $AD$. Их площади равны $S_{\triangle MDA} = \frac{1}{2} AD \cdot h_M$ и $S_{\triangle KDA} = \frac{1}{2} AD \cdot h_K$, где $h_M$ и $h_K$ — высоты из точек $M$ и $K$ на прямую $AD$. Разность площадей равна $\frac{1}{2} AD \cdot |h_M - h_K|$.Аналогично, правая часть равна $S_{\triangle KBC} - S_{\triangle MBC} = \frac{1}{2} BC \cdot |h'_K - h'_M|$, где $h'_K$ и $h'_M$ — высоты на прямую $BC$.Рассмотрим площадь четырехугольника $MKDA$. Его площадь равна $S_{MKDA} = S_{\triangle MKA} + S_{\triangle MKD} = S_{\triangle MDA} + S_{\triangle KDA}$. Это не всегда верно.Как мы установили ранее, $S_{MKA} = S_{MKC}$ и $S_{MKB} = S_{MKD}$.Площадь $\triangle AKB$ можно представить как $|S_{MKB} - S_{MKA}|$ или $S_{MKB} + S_{MKA}$ в зависимости от расположения точек $A, B$ относительно прямой $MK$. Так как $A,C$ и $B,D$ по разные стороны от $MK$, то $A,B$ по одну сторону, а $C,D$ по другую (или $A,D$ по одну, $B,C$ по другую).Пусть $A, B$ по одну сторону от $MK$. Тогда $S_{\triangle AKB} = |S_{MKB} - S_{MKA}|$.Тогда $C, D$ будут по другую сторону. $S_{\triangle DCM} = |S_{MKC} - S_{MKD}|$.Поскольку $S_{MKA} = S_{MKC}$ и $S_{MKB} = S_{MKD}$, то$S_{\triangle AKB} = |S_{MKD} - S_{MKC}| = |S_{MKC} - S_{MKD}| = S_{\triangle DCM}$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство площадей $S_{\triangle DCM} = S_{\triangle AKB}$ доказано.