Номер 854, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 854, страница 217.

854 Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD, пересекает прямые AB и AD в точках K и М. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников KВС и CDM равны соответственно S₁ и S₂.

Решение:

Пусть $S$ — искомая площадь параллелограмма $ABCD$. Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника, $ABC$ и $ADC$. Таким образом, их площади равны:

$S_{ABC} = S_{ADC} = \frac{S}{2}$

Рассмотрим треугольники $KBC$ и $ABC$. Прямая, на которой лежат их основания $KB$ и $AB$, одна и та же — прямая $AB$. Высота, проведенная из вершины $C$ к этой прямой, является для них общей. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению длин их оснований:

$\frac{S_{KBC}}{S_{ABC}} = \frac{KB}{AB}$

Подставляя известные значения площадей $S_{KBC} = S_1$ и $S_{ABC} = S/2$, получаем:

$\frac{S_1}{S/2} = \frac{KB}{AB} \implies \frac{KB}{AB} = \frac{2S_1}{S}$

Аналогично рассмотрим треугольники $CDM$ и $ADC$. Их основания $DM$ и $AD$ лежат на одной прямой $AD$. Высота, проведенная из вершины $C$ к этой прямой, у них общая. Следовательно:

$\frac{S_{CDM}}{S_{ADC}} = \frac{DM}{AD}$

Подставляя известные значения $S_{CDM} = S_2$ и $S_{ADC} = S/2$, получаем:

$\frac{S_2}{S/2} = \frac{DM}{AD} \implies \frac{DM}{AD} = \frac{2S_2}{S}$

Теперь установим связь между отношениями $\frac{KB}{AB}$ и $\frac{DM}{AD}$.

Рассмотрим случай, когда точка $K$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$, а точка $M$ — на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$. В этом случае прямая $KM$ проходит через точку $C$.Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $DC \parallel AB$ (а значит, и $DC \parallel AK$) и $BC \parallel AD$ (а значит, и $BC \parallel DM$).

Рассмотрим подобные треугольники. Треугольник $MDC$ подобен треугольнику $MKA$ ($ \Delta MDC \sim \Delta MKA $), так как:

• $\angle M$ — общий.
• $\angle MDC = \angle MKA$ как соответственные углы при параллельных прямых $DC$ и $AK$ и секущей $MK$. (На самом деле углы $\angle CDM$ и $\angle KAB$ равны как углы с соответственно параллельными и противоположно направленными сторонами. А $\angle KAB$ и $\angle MKA$ не равны. Однако, $\angle MCD = \angle MKA$ как соответственные углы при $DC \parallel AK$ и секущей $MK$. Это неверно. Правильное доказательство подобия: $\angle M$ общий, $\angle MDC$ и $\angle MAB$ равны, так как $DC \parallel AB$, $\angle CDM + \angle CDA = 180^\circ$, $\angle MAB = \angle DAB$, $\angle CDA + \angle DAB = 180^\circ$. Отсюда $\angle CDM = \angle MAB$. Значит $\Delta MDC \sim \Delta MAB$ - тоже неверно).

Рассмотрим другую пару подобных треугольников: $\Delta KBC$ и $\Delta MDC$.

• $\angle KBC = 180^\circ - \angle ABC$. $\angle MDC = 180^\circ - \angle ADC$. Так как в параллелограмме $\angle ABC = \angle ADC$, то $\angle KBC = \angle MDC$.
• Поскольку $BC \parallel DM$, то $\angle KCB = \angle KMD$ (как соответственные углы при секущей $KM$).

Из равенства двух углов следует подобие треугольников: $ \Delta KBC \sim \Delta MDC $.

Из подобия следует отношение сторон:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_{KBC}}{S_{MDC}} = \left(\frac{BC}{DC}\right)^2$

Это соотношение означало бы, что отношение площадей $S_1$ и $S_2$ не зависит от положения прямой $KM$, а только от формы параллелограмма, что неверно.

Вернемся к первому подходу и используем другое подобие. Так как $DC \parallel AK$, то $\Delta MDC \sim \Delta MKA$. Из подобия следует:

$\frac{MD}{MA} = \frac{DC}{KA}$

Перепишем, используя $MA = MD + DA$ и $KA = KB + BA$, а также $DC=BA$:

$\frac{MD}{MD+AD} = \frac{AB}{KB+AB}$

Разделим числитель и знаменатель левой части на $AD$, а правой — на $AB$:

$\frac{MD/AD}{MD/AD + 1} = \frac{1}{KB/AB + 1}$

Пусть $x = \frac{KB}{AB}$ и $y = \frac{DM}{AD}$. Тогда уравнение принимает вид:

$\frac{y}{y+1} = \frac{1}{x+1}$

$y(x+1) = y+1 \implies xy + y = y + 1 \implies xy = 1$

Это означает, что $(\frac{KB}{AB}) \cdot (\frac{DM}{AD}) = 1$.

Теперь подставим выражения для этих отношений, которые мы нашли ранее:

$(\frac{2S_1}{S}) \cdot (\frac{2S_2}{S}) = 1$

$\frac{4S_1 S_2}{S^2} = 1$

$S^2 = 4S_1 S_2$

Так как площадь $S$ — положительная величина, извлекаем квадратный корень:

$S = \sqrt{4S_1 S_2} = 2\sqrt{S_1 S_2}$

Ответ: $2\sqrt{S_1 S_2}$.