Номер 853, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 853, страница 216.

853 Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.

Пусть вершина угла находится в точке $O$, а его стороны — лучи $OX$ и $OY$. По условию, $\angle XOY = 60°$.

Пусть $A$ — точка внутри угла. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим из точки $A$ перпендикуляры $AP$ на сторону $OX$ и $AQ$ на сторону $OY$.

По условию, длины этих перпендикуляров равны $a$ и $b$. Пусть $AP = a$ и $AQ = b$.

Мы ищем расстояние от точки $A$ до вершины угла $O$, то есть длину отрезка $OA$. Обозначим эту длину как $d$, то есть $OA = d$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle OPA$ (с прямым углом $P$) и $\triangle OQA$ (с прямым углом $Q$). В обоих треугольниках $OA$ является гипотенузой.

Пусть луч $OA$ делит угол $\angle XOY$ на два угла: $\angle XOA = \alpha$ и $\angle YOA = \beta$. Тогда $\alpha + \beta = 60°$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OPA$ имеем:

$\sin(\alpha) = \frac{AP}{OA} = \frac{a}{d}$

Из прямоугольного треугольника $\triangle OQA$ имеем:

$\sin(\beta) = \frac{AQ}{OA} = \frac{b}{d}$

Так как $\beta = 60° - \alpha$, второе уравнение можно переписать как:

$\sin(60° - \alpha) = \frac{b}{d}$

Используем формулу синуса разности: $\sin(60° - \alpha) = \sin(60°)\cos(\alpha) - \cos(60°)\sin(\alpha)$.

Подставим известные значения синуса и косинуса 60°:

$\sin(60° - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha) - \frac{1}{2}\sin(\alpha)$

Теперь подставим это в наше уравнение:

$\frac{b}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha) - \frac{1}{2}\sin(\alpha)$

Мы знаем, что $\sin(\alpha) = a/d$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, найдем $\cos(\alpha)$. Поскольку точка $A$ лежит внутри угла, угол $\alpha$ острый, поэтому его косинус положителен.

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{a}{d}\right)^2} = \sqrt{\frac{d^2 - a^2}{d^2}} = \frac{\sqrt{d^2 - a^2}}{d}$

Подставим выражения для $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ в уравнение для $b/d$:

$\frac{b}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{d^2 - a^2}}{d} - \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{d}$

Умножим обе части уравнения на $d$ (так как $d \neq 0$):

$b = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{d^2 - a^2} - \frac{a}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $d$. Перенесем $\frac{a}{2}$ в левую часть:

$b + \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{d^2 - a^2}$

Умножим обе части на 2:

$2b + a = \sqrt{3}\sqrt{d^2 - a^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(2b + a)^2 = 3(d^2 - a^2)$

$4b^2 + 4ab + a^2 = 3d^2 - 3a^2$

Перенесем члены с $a^2$ в левую часть:

$3d^2 = 4b^2 + 4ab + a^2 + 3a^2$

$3d^2 = 4a^2 + 4ab + 4b^2$

Вынесем 4 за скобки в правой части:

$3d^2 = 4(a^2 + ab + b^2)$

Выразим $d^2$:

$d^2 = \frac{4(a^2 + ab + b^2)}{3}$

Наконец, найдем $d$, взяв квадратный корень:

$d = \sqrt{\frac{4(a^2 + ab + b^2)}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2 + ab + b^2}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$d = \frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{a^2 + ab + b^2}$

Ответ: Расстояние от точки $A$ до вершины угла равно $\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{a^2 + ab + b^2}$.