Номер 842, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 842, страница 215.

842 Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны AB, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС.

Обозначим параллелограмм $ABCD$. Пусть $M$ — точка внутри него. Через $M$ проведены прямая $TQ$, параллельная $AB$ (где $T$ лежит на $DA$, а $Q$ — на $BC$), и прямая $PR$, параллельная $BC$ (где $P$ лежит на $AB$, а $R$ — на $CD$). Эти прямые разбивают исходный параллелограмм на четыре меньших: $APMT$, $PBQM$, $MQCR$ и $RDTM$. В задаче они названы $MPBQ$ и $MRDT$, что соответствует $PBQM$ и $RDTM$. Нам нужно доказать эквивалентность двух утверждений:

1. Точка $M$ лежит на диагонали $AC$.
2. Площади параллелограммов $MPBQ$ и $MRDT$ равны ($S(MPBQ) = S(MRDT)$).

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на свойствах площадей. Пусть $\alpha$ — угол при вершине $A$ параллелограмма $ABCD$. Тогда угол при вершине $B$ равен $180^\circ - \alpha$. Площадь параллелограмма, стороны которого равны $a$ и $b$, а угол между ними $\theta$, вычисляется как $S = ab\sin\theta$.

Из построения следует, что $APMT$ — параллелограмм, поэтому $AP = TM$ и $AT = PM$. Аналогично, $PBQM$ — параллелограмм, поэтому $PB=MQ$ и $BQ=PM$. Отсюда $AT=BQ$.Так как $PR \parallel AD$, то четырехугольник $APRD$ является трапецией (или параллелограммом), и по теореме о пропорциональных отрезках $\frac{AP}{AB} = \frac{DR}{DC}$. Поскольку $AB=DC$, то $AP=DR$.Аналогично, так как $TQ \parallel AB$, то $\frac{AT}{AD} = \frac{BQ}{BC}$. Поскольку $AD=BC$, то $AT=BQ$.

Выразим площади интересующих нас параллелограммов:

• $S(MPBQ) = PB \cdot BQ \sin(\angle B) = (AB - AP) \cdot AT \sin(180^\circ - \alpha) = (AB - AP) \cdot AT \sin(\alpha)$.
• $S(MRDT) = RD \cdot DT \sin(\angle D) = AP \cdot (AD - AT) \sin(\alpha)$, поскольку $RD=AP$, $DT=AD-AT$ и $\angle D = \angle B$.

Теперь докажем оба утверждения.

Доказательство: если точка М лежит на диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны.

Пусть точка $M$ лежит на диагонали $AC$. Рассмотрим треугольники $\triangle APM$ и $\triangle ABC$. Так как $PM \parallel BC$, то $\triangle APM \sim \triangle ABC$. Из подобия следует пропорциональность сторон:$\frac{AP}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{PM}{BC}$.Рассмотрим треугольники $\triangle ATM$ и $\triangle ADC$. Так как $TM \parallel DC$, то $\triangle ATM \sim \triangle ADC$. Из подобия следует:$\frac{AT}{AD} = \frac{AM}{AC} = \frac{TM}{DC}$.Из этих двух пропорций мы видим, что $\frac{AP}{AB} = \frac{AT}{AD}$.Перепишем это равенство как $AP \cdot AD = AT \cdot AB$.Теперь вернемся к равенству, которое нам нужно доказать: $S(MPBQ) = S(MRDT)$. Подставим выражения для площадей:$(AB - AP) \cdot AT \sin(\alpha) = AP \cdot (AD - AT) \sin(\alpha)$.Так как $\sin(\alpha) \neq 0$ для невырожденного параллелограмма, мы можем сократить этот множитель:$(AB - AP) \cdot AT = AP \cdot (AD - AT)$.Раскроем скобки:$AB \cdot AT - AP \cdot AT = AP \cdot AD - AP \cdot AT$.Сократив $-AP \cdot AT$ с обеих сторон, получим:$AB \cdot AT = AP \cdot AD$.Это именно то соотношение, которое мы вывели из условия, что точка $M$ лежит на диагонали $AC$. Таким образом, равенство площадей выполняется.
Ответ: Прямое утверждение доказано.

Доказательство: если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС.

Теперь докажем обратное утверждение. Пусть нам дано, что $S(MPBQ) = S(MRDT)$.Используя формулы для площадей, выведенные ранее, запишем это равенство:$(AB - AP) \cdot AT \sin(\alpha) = AP \cdot (AD - AT) \sin(\alpha)$.Сокращаем на $\sin(\alpha)$:$(AB - AP) \cdot AT = AP \cdot (AD - AT)$.Раскрываем скобки:$AB \cdot AT - AP \cdot AT = AP \cdot AD - AP \cdot AT$.$AB \cdot AT = AP \cdot AD$.Разделим обе части на $AB \cdot AD$ (оба произведения не равны нулю):$\frac{AT}{AD} = \frac{AP}{AB}$.Пусть это отношение равно $k$, то есть $\frac{AP}{AB} = \frac{AT}{AD} = k$.Теперь рассмотрим положение точки $M$. $M$ является четвертой вершиной параллелограмма $APMT$. В векторной форме, если принять точку $A$ за начало координат, то $\vec{AM} = \vec{AP} + \vec{AT}$.Так как точка $P$ лежит на $AB$, то $\vec{AP} = \frac{AP}{AB} \vec{AB} = k \cdot \vec{AB}$.Так как точка $T$ лежит на $AD$, то $\vec{AT} = \frac{AT}{AD} \vec{AD} = k \cdot \vec{AD}$.Тогда вектор $\vec{AM}$ равен:$\vec{AM} = k \cdot \vec{AB} + k \cdot \vec{AD} = k(\vec{AB} + \vec{AD})$.Вектор диагонали $\vec{AC}$ равен сумме векторов сторон: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.Следовательно, $\vec{AM} = k \cdot \vec{AC}$.Это векторное равенство означает, что точки $A$, $M$ и $C$ лежат на одной прямой, то есть точка $M$ лежит на диагонали $AC$.
Ответ: Обратное утверждение доказано.