Номер 892, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 892, страница 220.

Условие.

892 Пусть точки С₁, А₁ и В₁ лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС или их продолжениях. Докажите: если AC₁C₁B • BA₁A₁C • CB₁B₁A = 1 то точки С₁, А₁ и В₁ лежат на одной прямой (теорема, обратная теореме Менелая).

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Это утверждение известно как теорема, обратная теореме Менелая. Доказательство проведём методом от противного.

Пусть дан треугольник $ABC$ и точки $C_1, A_1, B_1$, лежащие соответственно на прямых $AB, BC$ и $AC$. По условию выполняется равенство:

$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$

Предположим, что точки $C_1, A_1, B_1$ не лежат на одной прямой. Тогда прямая, проходящая через точки $A_1$ и $B_1$, пересекает прямую $AB$ в некоторой точке $C_2$. Поскольку мы предположили, что $C_1$ не лежит на прямой $A_1B_1$, то точки $C_1$ и $C_2$ различны ($C_1 \neq C_2$).

Так как точки $A_1, B_1$ и $C_2$ по построению лежат на одной прямой, то для треугольника $ABC$ и секущей $A_1B_1C_2$ по прямой теореме Менелая справедливо равенство:

$\frac{AC_2}{C_2B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$

Теперь сравним равенство из условия задачи и равенство, полученное из теоремы Менелая:

$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{AC_2}{C_2B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A}$

Так как отношения $\frac{BA_1}{A_1C}$ и $\frac{CB_1}{B_1A}$ не равны нулю, мы можем сократить их в обеих частях уравнения. Получим:

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{AC_2}{C_2B}$

Это равенство означает, что точки $C_1$ и $C_2$ делят отрезок $AB$ в одном и том же отношении. На прямой существует только одна точка, которая делит отрезок в данном отношении (либо внутренне, либо внешне). Из условий теоремы Менелая следует, что число точек на продолжениях сторон треугольника должно быть четным (0 или 2). Это означает, что точки $C_1$ и $C_2$ должны либо обе лежать на стороне $AB$, либо обе на её продолжении. В любом случае, из равенства отношений следует, что точки $C_1$ и $C_2$ должны совпадать.

Полученное равенство $C_1 = C_2$ противоречит нашему первоначальному предположению, что точки $C_1$ и $C_2$ различны. Противоречие возникло из-за неверного допущения, что точки $C_1, A_1, B_1$ не лежат на одной прямой. Следовательно, наше предположение неверно.

Таким образом, точки $C_1, A_1$ и $B_1$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.