Номер 894, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 894, страница 220.

894 Пусть точки С₁, А₁ и В₁ лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС или их продолжениях. Докажите, что если AC₁C₁B • BA₁A₁C • CB₁B₁A = 1, то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке (теорема, обратная теореме Чевы).

Для доказательства данной теоремы, известной как обратная теорема Чевы, воспользуемся методом от противного.

Предположим, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ не пересекаются в одной точке. Пусть прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. (Случай, когда эти прямые параллельны, можно рассматривать как пересечение в бесконечно удаленной точке, и утверждение теоремы также будет верным).

Поскольку по нашему предположению прямая $CC_1$ не проходит через точку $O$, проведём через вершину $C$ и точку $O$ другую прямую. Эта прямая пересечет прямую $AB$ в некоторой точке, которую мы обозначим $C_2$.

Так как прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_2$ по построению пересекаются в одной точке $O$, для них выполняется прямая теорема Чевы:$$ \frac{AC_2}{C_2B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$

В то же время, по условию задачи нам дано следующее равенство для точек $A_1, B_1, C_1$:$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$

Сравнивая два этих выражения, мы видим, что их левые части должны быть равны, так как правые части равны единице:$$ \frac{AC_2}{C_2B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} $$

Сократив в этом равенстве общие для обеих частей множители $\frac{BA_1}{A_1C}$ и $\frac{CB_1}{B_1A}$, мы получим:$$ \frac{AC_2}{C_2B} = \frac{AC_1}{C_1B} $$

Данное равенство означает, что точки $C_1$ и $C_2$ делят сторону $AB$ (или ее продолжение) в одном и том же отношении. На прямой существует только одна точка, которая делит данный отрезок в заданном отношении (считая внутреннее и внешнее деление различными случаями). Следовательно, точки $C_1$ и $C_2$ должны совпадать.

Если точки $C_1$ и $C_2$ — это одна и та же точка, то прямая $CC_1$ совпадает с прямой $CC_2$. А прямая $CC_2$ по нашему построению проходит через точку $O$ — точку пересечения прямых $AA_1$ и $BB_1$. Значит, и прямая $CC_1$ проходит через эту же точку $O$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что все три прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $O$. Это прямо противоречит нашему первоначальному предположению. Следовательно, предположение было неверным, и утверждение теоремы истинно.

Ответ: Утверждение доказано. Если для точек $C_1$, $A_1$ и $B_1$, лежащих на прямых, содержащих стороны $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно, выполняется равенство $\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$, то прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке (или параллельны).