Номер 900, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 900, страница 221.

900 Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А₁, а другую — в точках В и В₁. Докажите, что AA₁ || BB₁.

Пусть даны две окружности, назовем их $\omega_1$ и $\omega_2$, которые имеют единственную общую точку $M$. Это означает, что окружности касаются в этой точке. Проведем через точку $M$ их общую касательную — прямую $t$.

Согласно условию, через точку $M$ проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность $\omega_1$ в точке $A$ и окружность $\omega_2$ в точке $B$. Вторая секущая пересекает $\omega_1$ в точке $A_1$ и $\omega_2$ в точке $B_1$. Это означает, что точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой, а точки $A_1$, $M$, $B_1$ — на другой.

Для доказательства параллельности прямых $AA_1$ и $BB_1$ воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой.

1. Рассмотрим окружность $\omega_1$. Угол между касательной $t$ и хордой $MA_1$, проведенной через точку касания $M$, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $MA_1$. Этим углом является $\angle MAA_1$. Таким образом, величина угла, образованного прямой $t$ и прямой $A_1B_1$, равна величине угла $\angle MAA_1$.

2. Теперь рассмотрим окружность $\omega_2$. Аналогично, угол между той же касательной $t$ и хордой $MB_1$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $MB_1$. Этим углом является $\angle MBB_1$. Таким образом, величина угла, образованного прямой $t$ и прямой $A_1B_1$, равна величине угла $\angle MBB_1$.

3. Из двух предыдущих пунктов следует, что $\angle MAA_1 = \angle MBB_1$.

4. Рассмотрим прямые $AA_1$ и $BB_1$. Прямая, проходящая через точки $A$, $M$, $B$, является для них секущей. Углы $\angle MAA_1$ (который также является углом $\angle BAA_1$) и $\angle MBB_1$ являются соответственными углами при пересечении прямых $AA_1$ и $BB_1$ этой секущей.

Поскольку мы доказали, что эти соответственные углы равны ($\angle MAA_1 = \angle MBB_1$), то по признаку параллельности прямых, прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.