Номер 904, страница 222 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 904, страница 222.

Условие.

904 Докажите, что для всех хорд AB данной окружности величина AB²AD, где AD — расстояние от точки А до касательной в точке В, имеет одно и то же значение.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 11.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Рассмотрим произвольную хорду $AB$ этой окружности. Проведем касательную к окружности в точке $B$.

Пусть $l$ — эта касательная. По условию, $AD$ — это расстояние от точки $A$ до касательной $l$. Это означает, что $AD$ является перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на прямую $l$. Обозначим точку пересечения перпендикуляра и касательной как $D$. Таким образом, треугольник $\triangle ADB$ является прямоугольным, где $\angle ADB = 90^\circ$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике $\triangle ADB$ имеем:
$\sin(\angle ABD) = \frac{AD}{AB}$
Отсюда можно выразить $AD$:
$AD = AB \cdot \sin(\angle ABD)$

Теперь рассмотрим выражение, постоянство которого нужно доказать: $\frac{AB^2}{AD}$. Подставим в него найденное выражение для $AD$:
$\frac{AB^2}{AD} = \frac{AB^2}{AB \cdot \sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ABD)}$

Воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Угол между касательной, проведенной через конец хорды, и самой хордой равен вписанному углу, который опирается на дугу, стягиваемую этой хордой.

Возьмем на окружности произвольную точку $C$, не совпадающую с $A$ и $B$. Тогда угол $\angle ABD$ (угол между хордой $AB$ и касательной в точке $B$) равен вписанному углу $\angle ACB$, который опирается на дугу $AB$.
$\angle ABD = \angle ACB$

Тогда наше выражение можно переписать в виде:
$\frac{AB}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}$

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$, который вписан в исходную окружность. По обобщенной теореме синусов для $\triangle ABC$:
$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R$
где $R$ — радиус описанной окружности, который в данном случае является радиусом нашей исходной окружности.

Таким образом, мы получили:
$\frac{AB^2}{AD} = 2R$

Поскольку радиус $R$ данной окружности является постоянной величиной, то и ее диаметр $2R$ также является постоянной величиной. Следовательно, для любой хорды $AB$ данной окружности величина $\frac{AB^2}{AD}$ имеет одно и то же значение, равное диаметру окружности.

Ответ: Доказано, что величина $\frac{AB^2}{AD}$ постоянна и равна диаметру данной окружности.