Номер 910, страница 222 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 910, страница 222.

910 Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что BD² = AB • BC − AD • DC.

Для доказательства данного тождества воспользуемся методом с использованием описанной окружности.

Опишем окружность около треугольника $ABC$. Продолжим биссектрису $BD$ так, чтобы она пересекла окружность в точке $E$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle EBC$. У этих треугольников есть две пары равных углов:
1) $\angle BAC = \angle BEC$, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BC$.
2) $\angle ABD = \angle EBC$, так как $BE$ является биссектрисой угла $\angle ABC$ по построению.
Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle EBC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны: $$ \frac{AB}{EB} = \frac{BD}{BC} $$ Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $$ AB \cdot BC = EB \cdot BD $$

Точка $D$ лежит на отрезке $BE$, поэтому $EB = BD + DE$. Подставим это выражение в полученное ранее равенство: $$ AB \cdot BC = (BD + DE) \cdot BD $$ $$ AB \cdot BC = BD^2 + BD \cdot DE $$

Теперь воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах. Хорды $AC$ и $BE$ пересекаются в точке $D$. Согласно этой теореме, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $$ AD \cdot DC = BD \cdot DE $$

Наконец, подставим $AD \cdot DC$ вместо $BD \cdot DE$ в равенство $AB \cdot BC = BD^2 + BD \cdot DE$: $$ AB \cdot BC = BD^2 + AD \cdot DC $$ Перенеся $AD \cdot DC$ в левую часть, получим искомое тождество: $$ BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC$ доказано.