Номер 915, страница 223 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 915, страница 223.

Условие.

915 Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 11.

Рассмотрим прямоугольную трапецию, описанную около окружности. Обозначим длины её оснований как $a$ и $b$. Пусть высота трапеции, которая также является её боковой стороной, перпендикулярной основаниям, равна $h$. Длину второй, наклонной боковой стороны обозначим как $c$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Так как в трапецию можно вписать окружность, то по свойству описанного четырёхугольника суммы длин её противоположных сторон равны (теорема Пито). Для нашей трапеции это означает:$a + b = h + c$

Проведём высоту из вершины меньшего основания на большее. В результате образуется прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника равны высоте трапеции $h$ и разности длин оснований $|a-b|$. Гипотенуза этого треугольника равна наклонной боковой стороне $c$. По теореме Пифагора:$h^2 + (a-b)^2 = c^2$

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $a+b = h+c$
2) $h^2 + (a-b)^2 = c^2$

Из первого уравнения выразим сторону $c$:$c = a+b-h$

Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:$h^2 + (a-b)^2 = (a+b-h)^2$

Раскроем скобки в обеих частях равенства. Правую часть удобно раскрыть по формуле квадрата разности, считая $(a+b)$ одним слагаемым:$h^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a+b)^2 - 2h(a+b) + h^2$$h^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - 2h(a+b) + h^2$

Сократим одинаковые слагаемые ($h^2$, $a^2$ и $b^2$) в обеих частях:$-2ab = 2ab - 2h(a+b)$

Теперь преобразуем уравнение, чтобы выразить произведение высоты на сумму оснований:$2h(a+b) = 2ab + 2ab$$2h(a+b) = 4ab$$h(a+b) = 2ab$

Вернёмся к формуле площади трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Перепишем её в виде $S = \frac{h(a+b)}{2}$.

Подставим в эту формулу найденное нами соотношение $h(a+b) = 2ab$:$S = \frac{2ab}{2} = ab$

Таким образом, мы доказали, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Ответ: Доказано, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.