Номер 915, страница 223 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 915, страница 223.

915 Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Рассмотрим прямоугольную трапецию, описанную около окружности. Обозначим длины её оснований как $a$ и $b$. Пусть высота трапеции, которая также является её боковой стороной, перпендикулярной основаниям, равна $h$. Длину второй, наклонной боковой стороны обозначим как $c$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Так как в трапецию можно вписать окружность, то по свойству описанного четырёхугольника суммы длин её противоположных сторон равны (теорема Пито). Для нашей трапеции это означает:$a + b = h + c$

Проведём высоту из вершины меньшего основания на большее. В результате образуется прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника равны высоте трапеции $h$ и разности длин оснований $|a-b|$. Гипотенуза этого треугольника равна наклонной боковой стороне $c$. По теореме Пифагора:$h^2 + (a-b)^2 = c^2$

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $a+b = h+c$
2) $h^2 + (a-b)^2 = c^2$

Из первого уравнения выразим сторону $c$:$c = a+b-h$

Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:$h^2 + (a-b)^2 = (a+b-h)^2$

Раскроем скобки в обеих частях равенства. Правую часть удобно раскрыть по формуле квадрата разности, считая $(a+b)$ одним слагаемым:$h^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a+b)^2 - 2h(a+b) + h^2$$h^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - 2h(a+b) + h^2$

Сократим одинаковые слагаемые ($h^2$, $a^2$ и $b^2$) в обеих частях:$-2ab = 2ab - 2h(a+b)$

Теперь преобразуем уравнение, чтобы выразить произведение высоты на сумму оснований:$2h(a+b) = 2ab + 2ab$$2h(a+b) = 4ab$$h(a+b) = 2ab$

Вернёмся к формуле площади трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Перепишем её в виде $S = \frac{h(a+b)}{2}$.

Подставим в эту формулу найденное нами соотношение $h(a+b) = 2ab$:$S = \frac{2ab}{2} = ab$

Таким образом, мы доказали, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Ответ: Доказано, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.