Номер 920, страница 223 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 920, страница 223.

920 Постройте общую касательную к двум данным окружностям.

Задача о построении общей касательной к двум окружностям решается методом сведения к более простой задаче — построению касательной к окружности из точки. Существует два типа общих касательных: внешние и внутренние. Рассмотрим алгоритмы построения для обоих случаев.

Пусть даны две окружности: $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и $\omega_2$ с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$. Для удобства будем считать, что $R_1 \ge R_2$.

Построение внешней общей касательной

Внешние общие касательные существуют, если одна окружность не находится целиком внутри другой, то есть расстояние между центрами $O_1O_2 \ge R_1 - R_2$.

1. Соединяем центры окружностей $O_1$ и $O_2$ отрезком.
2. Строим вспомогательную окружность $\omega_3$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $r = R_1 - R_2$. Для построения отрезка длиной $R_1 - R_2$ можно на прямой отложить отрезок, равный $R_1$, и от его конца отложить в обратном направлении отрезок, равный $R_2$.
3. Строим касательную из точки $O_2$ к построенной вспомогательной окружности $\omega_3$. Для этого:
   • Находим точку $M$ — середину отрезка $O_1O_2$ (с помощью циркуля и линейки).
   • Строим окружность с центром в $M$ и радиусом $MO_1$.
   • Эта окружность пересечёт вспомогательную окружность $\omega_3$ в одной или двух точках. Обозначим одну из этих точек как $P$. Точка $P$ является точкой касания, так как угол $\angle O_1PO_2$ вписан в окружность с диаметром $O_1O_2$ и, следовательно, является прямым.
4. Проводим луч из центра $O_1$ через точку $P$. Точка пересечения этого луча с исходной окружностью $\omega_1$ является точкой касания. Обозначим её $T_1$.
5. Строим радиус $O_2T_2$ окружности $\omega_2$ так, чтобы он был параллелен радиусу $O_1T_1$ и направлен в ту же сторону. Точка $T_2$ является точкой касания на второй окружности.
6. Проводим прямую через точки $T_1$ и $T_2$. Эта прямая и есть искомая внешняя общая касательная.

Обоснование: По построению радиус $O_1P$ вспомогательной окружности перпендикулярен касательной $O_2P$. Рассмотрим четырехугольник $PT_1T_2O_2$. Отрезок $PT_1$ лежит на луче $O_1P$ и его длина равна $O_1T_1 - O_1P = R_1 - (R_1 - R_2) = R_2$. Радиус $O_2T_2$ по построению параллелен $O_1T_1$ (а значит, и $PT_1$) и также имеет длину $R_2$. Следовательно, четырехугольник $PT_1T_2O_2$ — параллелограмм. Из этого следует, что прямая $T_1T_2$ параллельна прямой $O_2P$. Так как $O_1T_1 \perp O_2P$, то и $O_1T_1 \perp T_1T_2$. А поскольку $O_2T_2 \parallel O_1T_1$, то и $O_2T_2 \perp T_1T_2$. Таким образом, прямая $T_1T_2$ является касательной к обеим окружностям в точках $T_1$ и $T_2$. Вторая внешняя касательная строится аналогично, используя вторую точку пересечения из шага 3.

Ответ: Прямая, проходящая через точки $T_1$ и $T_2$, является искомой внешней общей касательной.

Построение внутренней общей касательной

Внутренние общие касательные существуют, только если окружности лежат вне друг друга, то есть расстояние между центрами $O_1O_2 > R_1 + R_2$.

1. Соединяем центры окружностей $O_1$ и $O_2$ отрезком.
2. Строим вспомогательную окружность $\omega_4$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $r = R_1 + R_2$. Для построения отрезка длиной $R_1 + R_2$ нужно на прямой последовательно отложить отрезки, равные $R_1$ и $R_2$.
3. Строим касательную из точки $O_2$ к построенной вспомогательной окружности $\omega_4$ (аналогично пункту 3 из предыдущего построения). Обозначим точку касания как $P$.
4. Проводим отрезок $O_1P$. Точка пересечения этого отрезка с исходной окружностью $\omega_1$ является точкой касания. Обозначим её $T_1$.
5. Строим радиус $O_2T_2$ окружности $\omega_2$ так, чтобы он был параллелен радиусу $O_1T_1$, но направлен в противоположную сторону. Точка $T_2$ является точкой касания на второй окружности.
6. Проводим прямую через точки $T_1$ и $T_2$. Эта прямая и есть искомая внутренняя общая касательная.

Обоснование: По построению радиус $O_1P$ перпендикулярен касательной $O_2P$. Рассмотрим четырехугольник $T_1PO_2T_2$. Отрезок $T_1P$ лежит на отрезке $O_1P$ и его длина равна $O_1P - O_1T_1 = (R_1 + R_2) - R_1 = R_2$. Радиус $O_2T_2$ по построению параллелен $O_1P$ (а значит, и $T_1P$), направлен в противоположную сторону и также имеет длину $R_2$. Это означает, что векторы $\vec{T_1P}$ и $\vec{T_2O_2}$ равны. Следовательно, четырехугольник $T_1PO_2T_2$ — параллелограмм. Из этого следует, что прямая $T_1T_2$ параллельна прямой $PO_2$. Так как $O_1P \perp PO_2$, то и $T_1T_2 \perp O_1P$. Поскольку радиус $O_1T_1$ лежит на прямой $O_1P$, то $T_1T_2 \perp O_1T_1$. А так как $O_2T_2 \parallel O_1P$, то и $T_1T_2 \perp O_2T_2$. Таким образом, прямая $T_1T_2$ является касательной к обеим окружностям. Вторая внутренняя касательная строится аналогично, используя вторую точку касания из шага 3.

Ответ: Прямая, проходящая через точки $T_1$ и $T_2$, является искомой внутренней общей касательной.