Номер 924, страница 223 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 924, страница 223.

924 Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки A, В и М, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведённые из одной вершины.

Пусть дан треугольник $PQR$, вписанный в заданную окружность $\Omega$ с центром $O$. Пусть из вершины $P$ проведены высота $PH$, биссектриса $PL$ и медиана $PK$ (точки $H, L, K$ лежат на стороне $QR$ или ее продолжении).

По условию, прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану, пересекают описанную окружность в данных точках $A$, $B$ и $M$ соответственно. Будем считать, что порядок точек соответствует их названиям: прямая $PH$ проходит через $A$, прямая $PL$ — через $B$, прямая $PK$ — через $M$.

Анализ

1. Свойство биссектрисы. Биссектриса вписанного угла делит дугу, на которую он опирается, пополам. Так как прямая $PL$ является биссектрисой угла $\angle QPR$ и пересекает окружность в точке $B$, то точка $B$ является серединой дуги $QR$.

2. Следствие для стороны. Раз точка $B$ — середина дуги $QR$, то радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу. То есть, радиус $OB$ перпендикулярен стороне $QR$ ($OB \perp QR$). Кроме того, прямая $OB$ является серединным перпендикуляром к отрезку $QR$.

3. Свойство высоты. Высота $PH$ по определению перпендикулярна стороне $QR$ ($PH \perp QR$). Прямая, содержащая высоту, проходит через точку $A$, следовательно, прямая $PA \perp QR$.

4. Ключевое соотношение. Из пунктов 2 и 3 следует, что две прямые, $PA$ и $OB$, перпендикулярны одной и той же прямой $QR$. Следовательно, они параллельны: $PA \| OB$. Это соотношение позволяет найти вершину $P$.

5. Свойство медианы. Медиана $PK$ по определению делит сторону $QR$ пополам, то есть $K$ — середина хорды $QR$.

6. Положение середины стороны. Как установлено в пункте 2, прямая $OB$ является серединным перпендикуляром к $QR$. Это означает, что середина хорды $QR$, точка $K$, лежит на прямой $OB$.

7. Нахождение середины стороны. Из пунктов 5 и 6 следует, что точка $K$ лежит как на прямой $PM$ (содержащей медиану), так и на прямой $OB$. Следовательно, точка $K$ является точкой пересечения прямых $PM$ и $OB$: $K = PM \cap OB$.

Таким образом, анализ дал нам полный план построения треугольника.

Ответ: Анализ показывает, что вершина $P$ лежит на прямой, проходящей через точку $A$ параллельно радиусу $OB$. Сторона $QR$ проходит через точку $K$, являющуюся пересечением прямых $PM$ и $OB$, и перпендикулярна радиусу $OB$.

Построение

1. Находим центр $O$ данной окружности $\Omega$ (например, как точку пересечения серединных перпендикуляров к двум любым хордам, например, $AB$ и $BM$).

2. Проводим радиус $OB$.

3. Через точку $A$ проводим прямую $l$, параллельную радиусу $OB$. Эта прямая пересечет окружность $\Omega$ в точке $A$ и еще в одной точке, которую мы обозначим $P$. Эта точка $P$ — одна из вершин искомого треугольника. (Если прямая $l$ касается окружности в точке $A$, то $P$ совпадает с $A$, и решение вырождено).

4. Проводим прямую через точки $P$ и $M$.

5. Находим точку $K$ как точку пересечения прямых $PM$ и $OB$.

6. Через точку $K$ проводим прямую $s$, перпендикулярную прямой $OB$.

7. Прямая $s$ пересекает окружность $\Omega$ в двух точках. Обозначим их $Q$ и $R$.

8. Соединяем точки $P$, $Q$ и $R$. Треугольник $PQR$ — искомый.

Ответ: Искомый треугольник $PQR$ построен в соответствии с описанными шагами.

Доказательство

Необходимо доказать, что для построенного треугольника $PQR$ прямые, содержащие его высоту, биссектрису и медиану из вершины $P$, проходят через точки $A$, $B$ и $M$ соответственно.

1. Высота. По построению, прямая $PA$ (прямая $l$) параллельна $OB$ ($PA \| OB$). Сторона $QR$ (прямая $s$) построена перпендикулярно $OB$ ($QR \perp OB$). Из этого следует, что $PA \perp QR$. Таким образом, прямая $PA$ содержит высоту треугольника $PQR$, проведенную из вершины $P$, и она проходит через точку $A$ по построению.

2. Медиана. По построению, прямая $PM$ проходит через точку $M$. Точка $K$ лежит на этой прямой. $K$ также является точкой пересечения прямой $s$ (содержащей сторону $QR$) и прямой $OB$. Так как $OB \perp QR$ и $O$ — центр окружности, то прямая $OB$ является серединным перпендикуляром к хорде $QR$. Следовательно, точка их пересечения $K$ является серединой отрезка $QR$. Поскольку $K$ лежит на $PM$, то $PK$ — медиана треугольника $PQR$.

3. Биссектриса. Нужно доказать, что прямая $PB$ является биссектрисой угла $\angle QPR$. Мы знаем, что сторона $QR$ перпендикулярна радиусу $OB$. В окружности радиус, перпендикулярный хорде, делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Следовательно, точка $B$ является серединой дуги $QR$. По теореме о вписанном угле, прямая, соединяющая вершину угла ($P$) с серединой дуги, на которую он опирается ($B$), является биссектрисой этого угла. Таким образом, $PB$ — биссектриса угла $\angle QPR$.

Все условия задачи выполнены. Построенный треугольник $PQR$ является искомым.

Ответ: Доказано, что построенный треугольник $PQR$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

1. Существование вершины P. Вершина $P$ находится как пересечение окружности с прямой $l$, проходящей через $A$ параллельно $OB$. Такая прямая всегда пересекает окружность как минимум в точке $A$. Если прямая $l$ не является касательной в точке $A$, то существует вторая точка пересечения $P$. Если $l$ — касательная, то $P$ совпадает с $A$, и невырожденного треугольника не существует. Это происходит, когда $OB$ параллельна касательной в точке $A$, то есть $OB \perp OA$, что означает $\angle AOB = 90^\circ$.

2. Существование точки K. Точка $K$ — пересечение $PM$ и $OB$. Решение существует, если эти прямые не параллельны.

3. Существование сторон Q и R. Точки $Q$ и $R$ существуют, если прямая $s$ пересекает окружность, то есть если точка $K$ находится внутри окружности ($OK < R$, где $R$ — радиус окружности).

4. Количество решений. В условии задачи не указано, какая из точек ($A$, $B$, $M$) соответствует высоте, какая — биссектрисе, а какая — медиане. Ключевое свойство, использованное в построении ($PA \| OB$), основано на том, что $A$ — точка от высоты, а $B$ — точка от биссектрисы.

В общем случае существует 3! = 6 возможных соответствий между точками $A, B, M$ и линиями (высота, биссектриса, медиана). Обозначим $H_p, L_p, M_p$ точки на окружности для высоты, биссектрисы и медианы соответственно. Основное соотношение для построения всегда имеет вид $P H_p \| O L_p$.

Это приводит к 3 парам возможных конструкций:

- Если $L_p = B$ (биссектриса проходит через $B$), то $H_p$ может быть $A$ или $M$. Это дает два возможных построения (одно из них описано выше, второе — когда $PM \| OB$).

- Если $L_p = A$ (биссектриса проходит через $A$), то $H_p$ может быть $B$ или $M$. Это дает еще два возможных построения (например, $PB \| OA$).

- Если $L_p = M$ (биссектриса проходит через $M$), то $H_p$ может быть $A$ или $B$. Это дает последние два возможных построения.

Таким образом, в общем случае задача может иметь до 6 решений, в зависимости от расположения точек $A, B, M$. Каждое из этих потенциальных решений существует только при выполнении условий, описанных в пунктах 1-3. Если же считать, что порядок точек в условии задан строго (A-высота, B-биссектриса, M-медиана), то решение (если оно существует и невырождено) единственно.

Ответ: Задача может иметь от 0 до 6 решений в зависимости от взаимного расположения точек $A, B, M$ на окружности и от того, как сопоставляются эти точки с высотой, биссектрисой и медианой. При фиксированном сопоставлении (например, $A$ - высота, $B$ - биссектриса, $M$ - медиана) решение, как правило, единственно.