Номер 925, страница 223 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 925, страница 223.

925 Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?

Пусть данные три точки, не лежащие на одной прямой, — это $H_1$, $H_2$ и $H_3$. Мы ищем треугольник $\triangle ABC$, для которого эти точки являются основаниями высот. Это означает, что если мы опустим высоты из вершин $A, B, C$ на противолежащие стороны, то они попадут в точки $H_1, H_2, H_3$. Треугольник $\triangle H_1H_2H_3$, образованный основаниями высот, называется ортотреугольником для $\triangle ABC$.

Ключевым свойством, связывающим треугольник и его ортотреугольник, является следующее: вершины и ортоцентр (точка пересечения высот) исходного треугольника являются центрами вписанной и вневписанных окружностей его ортотреугольника.

То есть, четыре точки — вершины $A, B, C$ и ортоцентр $H$ треугольника $\triangle ABC$ — совпадают с набором из четырех точек: инцентра $I$ (центр вписанной окружности) и трех эксцентров $E_1, E_2, E_3$ (центры вневписанных окружностей) для ортотреугольника $\triangle H_1H_2H_3$.

Это означает, что для нахождения искомых треугольников нам нужно построить инцентр и эксцентры для треугольника, образованного данными точками $H_1, H_2, H_3$. Любые три из этих четырех построенных центров и будут образовывать один из искомых треугольников.

Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот.

Пусть даны точки $H_1, H_2, H_3$.

1. Соединим точки $H_1, H_2, H_3$ отрезками, чтобы получить треугольник $\triangle H_1H_2H_3$.
2. Для этого треугольника построим биссектрисы его внутренних и внешних углов.
3. Найдем точку пересечения трех внутренних биссектрис. Эта точка является центром вписанной окружности (инцентром) $\triangle H_1H_2H_3$. Обозначим ее $I$.
4. Найдем три точки пересечения одной внутренней и двух внешних биссектрис. Эти точки являются центрами трех вневписанных окружностей (эксцентрами) $\triangle H_1H_2H_3$. Обозначим их $E_1, E_2, E_3$.
5. Теперь у нас есть четыре точки: $I, E_1, E_2, E_3$. Чтобы построить один из искомых треугольников, нужно выбрать любые три из этих четырех точек в качестве его вершин. Например, выбрав точки $E_1, E_2, E_3$, мы получим искомый треугольник $\triangle E_1E_2E_3$.

Ответ: Алгоритм построения состоит в нахождении центров вписанной и трех вневписанных окружностей для треугольника, образованного данными точками. Вершины искомого треугольника являются любыми тремя из этих четырех найденных центров.

Сколько решений имеет задача?

Как было показано в алгоритме построения, у нас есть четыре "особые" точки: инцентр $I$ и три эксцентра $E_1, E_2, E_3$ треугольника $\triangle H_1H_2H_3$.

Искомый треугольник можно построить, выбрав любые три из этих четырех точек в качестве вершин. Количество способов выбрать 3 точки из 4-х равно числу сочетаний из 4 по 3: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$.

Таким образом, существует 4 треугольника, для которых точки $H_1, H_2, H_3$ являются основаниями высот:

• Треугольник с вершинами в трех эксцентрах: $\triangle E_1E_2E_3$. Этот треугольник всегда является остроугольным.
• Три треугольника, каждый из которых имеет в качестве вершин инцентр и два эксцентра: $\triangle IE_1E_2$, $\triangle IE_1E_3$ и $\triangle IE_2E_3$. Эти три треугольника всегда являются тупоугольными.

Всего задача имеет 4 решения.

Ответ: Задача имеет 4 решения.