Номер 919, страница 223 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 919, страница 223.

Условие.

919 Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 11.

Доказательство:

Пусть дан треугольник $ABC$ и описанная около него окружность. Возьмем произвольную точку $P$ на этой окружности. Опустим из точки $P$ перпендикуляры на прямые, содержащие стороны треугольника $ABC$. Обозначим основания этих перпендикуляров:

• $L$ — основание перпендикуляра на прямую $BC$ ($PL \perp BC$).
• $M$ — основание перпендикуляра на прямую $AC$ ($PM \perp AC$).
• $N$ — основание перпендикуляра на прямую $AB$ ($PN \perp AB$).

Нам нужно доказать, что точки $L$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Для этого достаточно доказать, что углы $\angle AMN$ и $\angle CML$ равны (так как точки $A, M, C$ лежат на одной прямой, равенство этих вертикальных углов будет означать коллинеарность точек $N, M, L$).

Рассмотрим несколько четырехугольников.

1. Четырехугольник $PMAN$.
По построению $PM \perp AC$ и $PN \perp AB$, следовательно, $\angle PMA = 90^\circ$ и $\angle PNA = 90^\circ$. Поскольку углы $\angle PMA$ и $\angle PNA$ прямые, они опираются на один и тот же отрезок $PA$ как на диаметр. Это означает, что точки $P, M, A, N$ лежат на одной окружности, и четырехугольник $PMAN$ является вписанным в эту окружность. В вписанном четырехугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle AMN$ и $\angle APN$ опираются на дугу $AN$. Следовательно, $\angle AMN = \angle APN$.

2. Четырехугольник $PLCM$.
Аналогично, по построению $PL \perp BC$ и $PM \perp AC$, следовательно, $\angle PLC = 90^\circ$ и $\angle PMC = 90^\circ$. Сумма противоположных углов $\angle PLC + \angle PMC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что вокруг четырехугольника $PLCM$ можно описать окружность (с диаметром $PC$). В этом вписанном четырехугольнике углы $\angle CML$ и $\angle CPL$ опираются на одну и ту же дугу $CL$. Следовательно, $\angle CML = \angle CPL$.

Таким образом, наша задача свелась к доказательству равенства $\angle APN = \angle CPL$.

3. Использование основной окружности и четырехугольника $PNBL$.
Точки $A, B, C, P$ по условию лежат на одной окружности. Следовательно, четырехугольник $ABCP$ — вписанный. В вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Нас интересуют углы $\angle CPA$ и $\angle CBA$ ($\angle B$). Имеем: $\angle CPA + \angle CBA = 180^\circ$, откуда $\angle CPA = 180^\circ - \angle B$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $PNBL$. По построению $\angle PNB = 90^\circ$ и $\angle PLB = 90^\circ$. Эти углы опираются на отрезок $PB$ как на диаметр, значит, четырехугольник $PNBL$ является вписанным. В этом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов $\angle NBL$ и $\angle NPL$ равна $180^\circ$. Угол $\angle NBL$ — это тот же угол, что и $\angle ABC$ или $\angle B$. Следовательно, $\angle NPL + \angle B = 180^\circ$, откуда $\angle NPL = 180^\circ - \angle B$.

4. Завершение доказательства.
Мы получили, что $\angle CPA = 180^\circ - \angle B$ и $\angle NPL = 180^\circ - \angle B$. Значит, $\angle CPA = \angle NPL$.

Разложим эти равные углы на части: $\angle CPA = \angle CPL + \angle LPA$ $\angle NPL = \angle NPA + \angle LPA$

Приравнивая выражения, получаем: $\angle CPL + \angle LPA = \angle NPA + \angle LPA$

Вычитая общий угол $\angle LPA$ из обеих частей равенства, получаем: $\angle CPL = \angle NPA$

Как мы установили ранее: $\angle CML = \angle CPL$ $\angle AMN = \angle APN$ (в доказательстве было $\angle APN$, что то же самое, что и $\angle NPA$)

Следовательно, $\angle CML = \angle AMN$.

Поскольку точки $A, M, C$ лежат на одной прямой, а углы $\angle CML$ и $\angle AMN$ равны и являются по сути вертикальными, то точки $L, M, N$ также должны лежать на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки описанной окружности треугольника к прямым, содержащим его стороны, лежат на одной прямой.