Номер 913, страница 222 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 913, страница 222.

Условие.

913 Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 11.

Пусть $ABCD$ — вписанный в окружность четырехугольник, диагонали которого $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Обозначим радиус описанной окружности как $R$, а ее диаметр как $D = 2R$.

Необходимо доказать, что сумма квадратов длин противоположных сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности, то есть: $AB^2 + CD^2 = D^2$ и $BC^2 + AD^2 = D^2$. Докажем первое равенство: $AB^2 + CD^2 = (2R)^2$.

Выполним дополнительное построение. Проведем из вершины $A$ хорду $AE$, параллельную диагонали $BD$.

Поскольку вписанный четырехугольник $ABDE$ имеет две параллельные стороны ($AE \parallel BD$), он является равнобедренной трапецией. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, следовательно, $AB = DE$.

По условию задачи диагонали четырехугольника перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как по построению $AE \parallel BD$, то из этого следует, что и $AC \perp AE$. Таким образом, угол $\angle CAE = 90^\circ$.

Угол $\angle CAE$ является вписанным в окружность. Так как он прямой, он должен опираться на диаметр. Следовательно, хорда $CE$ является диаметром описанной окружности, и ее длина равна $CE = 2R$.

Рассмотрим треугольник $CDE$. Он также вписан в эту окружность, и одна из его сторон, $CE$, является диаметром. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым, поэтому $\angle CDE = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $CDE$ — прямоугольный.

Применим к прямоугольному треугольнику $CDE$ теорему Пифагора:

$CD^2 + DE^2 = CE^2$

В этом равенстве заменим $DE$ на равную ей по длине сторону $AB$ и $CE$ на диаметр $2R$:

$CD^2 + AB^2 = (2R)^2$

Равенство $AB^2 + CD^2 = (2R)^2$ доказано.

Для доказательства второго равенства ($BC^2 + AD^2 = (2R)^2$) воспользуемся свойством любого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями (так называемого ортодиагонального четырехугольника). Это свойство гласит, что суммы квадратов противоположных сторон равны: $AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2$.

Докажем это свойство. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Так как $AC \perp BD$, треугольники $APB$, $BPC$, $CPD$ и $DPA$ являются прямоугольными. По теореме Пифагора для этих треугольников:

$AB^2 = AP^2 + BP^2$

$CD^2 = CP^2 + DP^2$

$BC^2 = BP^2 + CP^2$

$AD^2 = AP^2 + DP^2$

Складывая первые два равенства, получаем: $AB^2 + CD^2 = AP^2 + BP^2 + CP^2 + DP^2$.

Складывая вторые два равенства, получаем: $BC^2 + AD^2 = BP^2 + CP^2 + AP^2 + DP^2$.

Правые части выражений равны, следовательно, равны и левые: $AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2$.

Так как мы уже доказали, что $AB^2 + CD^2 = (2R)^2$, то из этого следует, что и $BC^2 + AD^2 = (2R)^2$.

Таким образом, исходное утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано.