Номер 908, страница 222 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 908, страница 222.

Условие.

908 Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 11.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим биссектрисы его внутренних углов при вершинах $A, B, C$ как $l_A, l_B, l_C$ соответственно. Согласно условию, через каждую вершину $A, B, C$ проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла при этой вершине. Обозначим эти прямые как $m_A, m_B, m_C$. Таким образом, $m_A \perp l_A$, $m_B \perp l_B$, и $m_C \perp l_C$.

Эти прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Обозначим его вершины $A' = m_B \cap m_C$, $B' = m_A \cap m_C$ и $C' = m_A \cap m_B$.

Требуется доказать, что вершины $A', B', C'$ лежат на прямых, содержащих биссектрисы $l_A, l_B, l_C$ треугольника $ABC$.

Доказательство

Сначала установим, чем являются прямые $m_A, m_B, m_C$ по отношению к треугольнику $ABC$. Рассмотрим прямую $m_A$, проходящую через вершину $A$ и перпендикулярную биссектрисе внутреннего угла $\angle A$. Известно, что биссектриса внутреннего угла и биссектриса смежного с ним внешнего угла при одной и той же вершине треугольника всегда взаимно перпендикулярны. Это объясняется тем, что сумма внутреннего и внешнего углов равна $180^\circ$, а угол между их биссектрисами равен сумме половин этих углов: $ \frac{\angle A}{2} + \frac{180^\circ - \angle A}{2} = \frac{\angle A}{2} + 90^\circ - \frac{\angle A}{2} = 90^\circ $.

Следовательно, прямая $m_A$, будучи перпендикулярной к биссектрисе внутреннего угла $l_A$ и проходя через вершину $A$, является биссектрисой внешнего угла при вершине $A$. Аналогично, прямая $m_B$ является биссектрисой внешнего угла при вершине $B$, а прямая $m_C$ — биссектрисой внешнего угла при вершине $C$.

Теперь докажем, что вершина $A'$ нового треугольника лежит на биссектрисе $l_A$. Вершина $A'$ — это точка пересечения прямых $m_B$ и $m_C$. Как мы установили, $m_B$ — это биссектриса внешнего угла при вершине $B$, а $m_C$ — биссектриса внешнего угла при вершине $C$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от прямых, образующих этот угол.

Поскольку точка $A'$ лежит на биссектрисе $m_B$ внешнего угла при вершине $B$, она равноудалена от прямых, содержащих стороны $AB$ и $BC$. Если обозначить расстояние от точки $P$ до прямой $k$ как $d(P, k)$, то получим $d(A', AB) = d(A', BC)$.

Поскольку точка $A'$ также лежит на биссектрисе $m_C$ внешнего угла при вершине $C$, она равноудалена от прямых, содержащих стороны $AC$ и $BC$. То есть, $d(A', AC) = d(A', BC)$.

Из этих двух равенств следует, что $d(A', AB) = d(A', AC)$. Это означает, что точка $A'$ равноудалена от сторон угла $\angle A$. Следовательно, точка $A'$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$.

Точка пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника (в нашем случае при вершинах $B$ и $C$) является центром одной из его вневписанных окружностей. Этот центр, по определению, также лежит и на биссектрисе внутреннего угла третьей вершины (в нашем случае $A$). Таким образом, точка $A'$, являясь точкой пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $B$ и $C$, принадлежит биссектрисе внутреннего угла $l_A$.

Аналогичные рассуждения применяются для вершин $B'$ и $C'$:

Вершина $B'$ является точкой пересечения $m_A$ (биссектрисы внешнего угла $\angle A$) и $m_C$ (биссектрисы внешнего угла $\angle C$). Следовательно, $B'$ лежит на биссектрисе внутреннего угла $l_B$.

Вершина $C'$ является точкой пересечения $m_A$ (биссектрисы внешнего угла $\angle A$) и $m_B$ (биссектрисы внешнего угла $\angle B$). Следовательно, $C'$ лежит на биссектрисе внутреннего угла $l_C$.

Таким образом, доказано, что все вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы соответствующих внутренних углов треугольника $ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение задачи доказано.