Номер 908, страница 222 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 908, страница 222.

908 Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим биссектрисы его внутренних углов при вершинах $A, B, C$ как $l_A, l_B, l_C$ соответственно. Согласно условию, через каждую вершину $A, B, C$ проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла при этой вершине. Обозначим эти прямые как $m_A, m_B, m_C$. Таким образом, $m_A \perp l_A$, $m_B \perp l_B$, и $m_C \perp l_C$.

Эти прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Обозначим его вершины $A' = m_B \cap m_C$, $B' = m_A \cap m_C$ и $C' = m_A \cap m_B$.

Требуется доказать, что вершины $A', B', C'$ лежат на прямых, содержащих биссектрисы $l_A, l_B, l_C$ треугольника $ABC$.

Доказательство

Сначала установим, чем являются прямые $m_A, m_B, m_C$ по отношению к треугольнику $ABC$. Рассмотрим прямую $m_A$, проходящую через вершину $A$ и перпендикулярную биссектрисе внутреннего угла $\angle A$. Известно, что биссектриса внутреннего угла и биссектриса смежного с ним внешнего угла при одной и той же вершине треугольника всегда взаимно перпендикулярны. Это объясняется тем, что сумма внутреннего и внешнего углов равна $180^\circ$, а угол между их биссектрисами равен сумме половин этих углов: $ \frac{\angle A}{2} + \frac{180^\circ - \angle A}{2} = \frac{\angle A}{2} + 90^\circ - \frac{\angle A}{2} = 90^\circ $.

Следовательно, прямая $m_A$, будучи перпендикулярной к биссектрисе внутреннего угла $l_A$ и проходя через вершину $A$, является биссектрисой внешнего угла при вершине $A$. Аналогично, прямая $m_B$ является биссектрисой внешнего угла при вершине $B$, а прямая $m_C$ — биссектрисой внешнего угла при вершине $C$.

Теперь докажем, что вершина $A'$ нового треугольника лежит на биссектрисе $l_A$. Вершина $A'$ — это точка пересечения прямых $m_B$ и $m_C$. Как мы установили, $m_B$ — это биссектриса внешнего угла при вершине $B$, а $m_C$ — биссектриса внешнего угла при вершине $C$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от прямых, образующих этот угол.

Поскольку точка $A'$ лежит на биссектрисе $m_B$ внешнего угла при вершине $B$, она равноудалена от прямых, содержащих стороны $AB$ и $BC$. Если обозначить расстояние от точки $P$ до прямой $k$ как $d(P, k)$, то получим $d(A', AB) = d(A', BC)$.

Поскольку точка $A'$ также лежит на биссектрисе $m_C$ внешнего угла при вершине $C$, она равноудалена от прямых, содержащих стороны $AC$ и $BC$. То есть, $d(A', AC) = d(A', BC)$.

Из этих двух равенств следует, что $d(A', AB) = d(A', AC)$. Это означает, что точка $A'$ равноудалена от сторон угла $\angle A$. Следовательно, точка $A'$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$.

Точка пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника (в нашем случае при вершинах $B$ и $C$) является центром одной из его вневписанных окружностей. Этот центр, по определению, также лежит и на биссектрисе внутреннего угла третьей вершины (в нашем случае $A$). Таким образом, точка $A'$, являясь точкой пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $B$ и $C$, принадлежит биссектрисе внутреннего угла $l_A$.

Аналогичные рассуждения применяются для вершин $B'$ и $C'$:

Вершина $B'$ является точкой пересечения $m_A$ (биссектрисы внешнего угла $\angle A$) и $m_C$ (биссектрисы внешнего угла $\angle C$). Следовательно, $B'$ лежит на биссектрисе внутреннего угла $l_B$.

Вершина $C'$ является точкой пересечения $m_A$ (биссектрисы внешнего угла $\angle A$) и $m_B$ (биссектрисы внешнего угла $\angle B$). Следовательно, $C'$ лежит на биссектрисе внутреннего угла $l_C$.

Таким образом, доказано, что все вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы соответствующих внутренних углов треугольника $ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение задачи доказано.