Номер 911, страница 222 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 911, страница 222.

911 Из вершины В треугольника ABC проведены высота ВН и биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную около треугольника окружность с центром О. Докажите, что луч BE является биссектрисой угла ОВН.

Для доказательства того, что луч $BE$ является биссектрисой угла $OBH$, необходимо показать, что $\angle HBE = \angle OBE$.

Выполним доказательство по шагам:

1. По условию, луч $BE$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Он пересекает описанную около треугольника $ABC$ окружность в точке $E$. Согласно свойству биссектрисы вписанного угла, она делит дугу, на которую опирается, пополам. Следовательно, точка $E$ является серединой дуги $AC$ (не содержащей точку $B$). Это означает, что дуга $AE$ равна дуге $CE$: $\cup AE = \cup CE$.

2. Так как $E$ — середина дуги $AC$, радиус $OE$, проведенный из центра окружности $O$ в точку $E$, перпендикулярен хорде $AC$. Таким образом, $OE \perp AC$.

3. По условию, $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AC$. По определению высоты, $BH \perp AC$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что прямые $OE$ и $BH$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Следовательно, $OE \parallel BH$.

5. Рассмотрим параллельные прямые $OE$ и $BH$ и секущую $BE$. Углы $\angle HBE$ и $\angle OEB$ являются накрест лежащими при этих параллельных прямых и секущей. Следовательно, эти углы равны: $\angle HBE = \angle OEB$.

6. Рассмотрим треугольник $OBE$. Точки $B$ и $E$ лежат на описанной окружности, а $O$ — ее центр. Отрезки $OB$ и $OE$ являются радиусами этой окружности, поэтому их длины равны: $OB = OE = R$. Таким образом, треугольник $OBE$ является равнобедренным.

7. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $BE$, значит, $\angle OBE = \angle OEB$.

8. Теперь сопоставим равенства, полученные в пунктах 5 и 7:
$\angle HBE = \angle OEB$
$\angle OBE = \angle OEB$
Из этих двух равенств следует, что $\angle HBE = \angle OBE$.

Равенство углов $\angle HBE$ и $\angle OBE$ означает, что луч $BE$ делит угол $\angle OBH$ пополам, то есть является его биссектрисой.

Ответ: Что и требовалось доказать.