Номер 916, страница 223 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 916, страница 223.

916 Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

Теорема Птолемея утверждает, что для любого четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин его противоположных сторон.

Дано:

Четырёхугольник $ABCD$, вписанный в окружность.

Доказать:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$

Доказательство:

1. На диагонали $AC$ выберем точку $K$ таким образом, чтобы угол $\angle ABK$ был равен углу $\angle CBD$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DBC$.

• $\angle ABK = \angle DBC$ (по построению).
• $\angle BAK = \angle BDC$ (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BC$).

Следовательно, треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DBC$ подобны по двум углам ($\triangle ABK \sim \triangle DBC$).

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$\frac{AB}{DB} = \frac{AK}{DC}$

Отсюда получаем первое равенство:

$AB \cdot DC = DB \cdot AK$ (1)

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle KBC$.

• $\angle ADB = \angle KCB$ (или $\angle ACB$, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AB$).
• $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC$. Поскольку по построению $\angle DBC = \angle ABK$, то $\angle ABD = \angle ABC - \angle ABK = \angle KBC$.

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle KBC$ подобны по двум углам ($\triangle ABD \sim \triangle KBC$).

5. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность сторон:

$\frac{AD}{KC} = \frac{BD}{BC}$

Отсюда получаем второе равенство:

$AD \cdot BC = BD \cdot KC$ (2)

6. Сложим полученные равенства (1) и (2):

$AB \cdot DC + AD \cdot BC = DB \cdot AK + BD \cdot KC$

7. Вынесем общий множитель $BD$ в правой части уравнения:

$AB \cdot DC + AD \cdot BC = BD \cdot (AK + KC)$

8. Так как точка $K$ лежит на диагонали $AC$, то $AK + KC = AC$. Подставим это в уравнение:

$AB \cdot CD + BC \cdot AD = BD \cdot AC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: В любом вписанном в окружность четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, что доказывает справедливость теоремы Птолемея.