Номер 921, страница 223 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 921, страница 223.

921 Даны окружность с центром О, точка М и отрезки Р₁Q₁ и P₂Q₂. Постройте прямую p так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную P₁Q₁, и расстояние от точки М до прямой p равнялось P₂Q₂.

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических мест. Искомая прямая $p$ должна удовлетворять двум условиям. Рассмотрим геометрическое место прямых, удовлетворяющих каждому из этих условий.

1. Анализ

Первое условие: окружность с центром $O$ и радиусом $R$ отсекает на прямой $p$ хорду, равную по длине отрезку $P_1Q_1$. Пусть длина отрезка $P_1Q_1$ равна $l_1$. Все хорды окружности, имеющие одинаковую длину $l_1$, равноудалены от ее центра $O$. Найдем это расстояние $d_1$. Если мы проведем из центра $O$ перпендикуляр к хорде, он разделит ее пополам. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус окружности $R$, одним катетом — половина хорды $l_1/2$, а вторым катетом — расстояние от центра до хорды $d_1$. По теореме Пифагора: $R^2 = d_1^2 + (l_1/2)^2$. Отсюда, $d_1 = \sqrt{R^2 - (l_1/2)^2}$. Это означает, что любая прямая $p$, удовлетворяющая первому условию, должна находиться на расстоянии $d_1$ от центра $O$. Геометрическое место таких прямых — это множество всех касательных к вспомогательной окружности $\omega_1$ с центром в точке $O$ и радиусом $d_1$.

Второе условие: расстояние от точки $M$ до прямой $p$ равняется длине отрезка $P_2Q_2$. Пусть длина отрезка $P_2Q_2$ равна $l_2$. Геометрическое место прямых, находящихся на заданном расстоянии $l_2$ от точки $M$, — это множество всех касательных к вспомогательной окружности $\omega_2$ с центром в точке $M$ и радиусом $l_2$.

Таким образом, искомая прямая $p$ должна быть одновременно касательной к окружности $\omega_1(O, d_1)$ и к окружности $\omega_2(M, l_2)$. Задача сводится к построению общих касательных к двум окружностям.

2. Построение

1. Построение радиуса $d_1$ для первой вспомогательной окружности.
   • Определяем радиус $R$ данной окружности (например, измерив расстояние от центра $O$ до любой точки на ней циркулем).
   • Строим серединный перпендикуляр к отрезку $P_1Q_1$, чтобы найти его середину и получить отрезок длиной $l_1/2 = P_1Q_1 / 2$.
   • Строим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной $R$, и одним катетом, равным $l_1/2$. Для этого проводим прямую, в произвольной точке $H$ на ней восставляем перпендикуляр. На перпендикуляре откладываем отрезок $HK = l_1/2$. Из точки $K$ как из центра проводим дугу радиусом $R$ до пересечения с исходной прямой в точке $A$. Длина катета $AH$ и будет искомым радиусом $d_1$.
2. Построение вспомогательных окружностей.
   • Строим окружность $\omega_1$ с центром в точке $O$ и радиусом $d_1$.
   • Строим окружность $\omega_2$ с центром в точке $M$ и радиусом $l_2 = P_2Q_2$.
3. Построение искомых прямых $p$.
   • Строим все общие касательные к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$. Это стандартная задача на построение. В зависимости от взаимного расположения окружностей может быть от нуля до четырех общих касательных.
   • Каждая из построенных общих касательных является искомой прямой $p$.

3. Исследование

Число решений задачи зависит от исходных данных.

Во-первых, для того чтобы можно было построить радиус $d_1 = \sqrt{R^2 - (l_1/2)^2}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $R^2 \ge (l_1/2)^2$, что эквивалентно $2R \ge l_1$. То есть длина отрезка $P_1Q_1$ не должна превышать диаметр данной окружности. Если $P_1Q_1 > 2R$, то задача не имеет решений.

Если $P_1Q_1 \le 2R$, то радиус $d_1$ существует. Количество решений задачи (прямых $p$) равно количеству общих касательных к окружностям $\omega_1(O, d_1)$ и $\omega_2(M, l_2)$. Пусть $d = OM$ — расстояние между центрами вспомогательных окружностей.

• Если $d > d_1 + l_2$, то окружности не пересекаются и находятся одна вне другой. Существует 4 общих касательных (2 внешние и 2 внутренние). 4 решения.
• Если $d = d_1 + l_2$, то окружности касаются внешним образом. Существует 3 общих касательных. 3 решения.
• Если $|d_1 - l_2| < d < d_1 + l_2$, то окружности пересекаются в двух точках. Существует 2 общие (внешние) касательные. 2 решения.
• Если $d = |d_1 - l_2|$ и $d \ne 0$, то окружности касаются внутренним образом. Существует 1 общая касательная. 1 решение.
• Если $d < |d_1 - l_2|$, то одна окружность находится внутри другой, не касаясь. Общих касательных нет. Нет решений.
• Особые случаи:
  • Если $O=M$ ($d=0$) и $d_1=l_2$, то окружности совпадают. Существует бесконечно много общих касательных. Бесконечно много решений.
  • Если $O=M$ ($d=0$) и $d_1 \ne l_2$, то окружности концентрические. Общих касательных нет. Нет решений.
  • Если $P_1Q_1=2R$, то $d_1=0$. Окружность $\omega_1$ вырождается в точку $O$. Задача сводится к построению касательных к окружности $\omega_2(M, l_2)$ из точки $O$. Число решений (0, 1 или 2) зависит от расположения точки $O$ относительно окружности $\omega_2$.

Ответ: Искомые прямые $p$ являются общими касательными к двум вспомогательным окружностям: $\omega_1$ с центром в точке $O$ и радиусом $d_1 = \sqrt{R^2 - (P_1Q_1/2)^2}$ (где $R$ — радиус данной окружности), и $\omega_2$ с центром в точке $M$ и радиусом $l_2 = P_2Q_2$. Построение этих прямых выполняется по алгоритму построения общих касательных к двум окружностям. Число решений может быть 0, 1, 2, 3, 4 или бесконечно много в зависимости от исходных данных.