Номер 922, страница 223 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 922, страница 223.

922 Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку.

Для решения этой задачи необходимо установить связь между длиной хорды и ее расстоянием от центра окружности. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, а внутри нее — точка $P$.

Рассмотрим произвольную хорду $AB$, проходящую через точку $P$. Опустим из центра окружности $O$ перпендикуляр $OM$ на хорду $AB$. Расстояние от центра до хорды равно длине этого перпендикуляра, $d = OM$. Из прямоугольного треугольника $OAM$ (где $A$ — конец хорды, а $M$ — ее середина) по теореме Пифагора имеем: $OA^2 = OM^2 + AM^2$. Так как $OA = R$ (радиус) и $AM$ является половиной длины хорды $AB$ ($AM = \frac{AB}{2}$), мы можем записать, что $R^2 = d^2 + (\frac{AB}{2})^2$.

Выразим из этой формулы длину хорды $AB$: $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$.

Из полученной зависимости следует, что длина хорды $AB$ будет наименьшей, когда ее расстояние $d$ от центра окружности будет наибольшим. Таким образом, задача сводится к нахождению хорды, проходящей через точку $P$ и максимально удаленной от центра $O$.

Рассмотрим расстояние от центра $O$ до любой хорды, проходящей через точку $P$. Пусть $CD$ — такая хорда. Проведем перпендикуляр $OK$ из точки $O$ на прямую, содержащую хорду $CD$. Длина $OK$ — это расстояние от центра до хорды. Точки $O$, $K$ и $P$ образуют прямоугольный треугольник $OKP$ (с прямым углом при вершине $K$), в котором отрезок $OP$ является гипотенузой. Поскольку катет не превосходит гипотенузу, справедливо неравенство $OK \le OP$.

Это неравенство показывает, что расстояние от центра до любой хорды, проходящей через $P$, не может быть больше, чем расстояние от $O$ до $P$. Наибольшее возможное расстояние $d_{max} = OP$ достигается тогда, когда точка $K$ (основание перпендикуляра) совпадает с точкой $P$. Это, в свою очередь, означает, что хорда должна быть перпендикулярна отрезку $OP$.

Следовательно, искомая наименьшая хорда — это хорда, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная отрезку $OP$. Для её построения необходимо сначала соединить центр окружности $O$ с точкой $P$, а затем построить прямую, проходящую через точку $P$ перпендикулярно отрезку $OP$. Отрезок этой прямой, заключенный внутри окружности, и будет искомой хордой.

Ответ: Наименьшей из всех хорд, проходящих через данную точку $P$, является хорда, перпендикулярная отрезку $OP$, где $O$ — центр окружности. Для ее построения нужно соединить центр окружности $O$ с точкой $P$ и затем провести через точку $P$ прямую, перпендикулярную отрезку $OP$.