Номер 899, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 899, страница 221.

899 Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вневписанных окружностей с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).

Для доказательства воспользуемся теоремой Чевы в тригонометрической форме. Согласно этой теореме, три чевианы $AD$, $BE$, $CF$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

$$ \frac{\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle CAD)} \cdot \frac{\sin(\angle CBE)}{\sin(\angle ABE)} \cdot \frac{\sin(\angle ACF)}{\sin(\angle BCF)} = 1 $$

Пусть $ABC$ — данный треугольник. Обозначим длины его сторон, противолежащих вершинам $A$, $B$, $C$, как $a$, $b$, $c$ соответственно. Пусть $p = (a+b+c)/2$ — полупериметр треугольника.

Пусть $T_a$, $T_b$, $T_c$ — точки касания вневписанных окружностей со сторонами $BC$, $AC$, $AB$ соответственно. Нам нужно доказать, что отрезки (чевианы) $AT_a$, $BT_b$, $CT_c$ пересекаются в одной точке.

1. Найдем длины отрезков, на которые точки касания делят стороны треугольника.

Рассмотрим вневписанную окружность, касающуюся стороны $BC$ в точке $T_a$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Известно свойство, что расстояние от вершины до точки касания вневписанной окружности с продолжением стороны равно полупериметру. То есть, если окружность касается продолжения $AB$ в точке $K$, то $AK = p$.

Тогда $BT_a = BK - T_aK$. Так как отрезки касательных из одной точки к окружности равны, то $BK = BT_a$. Но это неверный путь. Используем другое свойство.

Расстояние от вершины $B$ до точки касания $T_a$ на стороне $BC$ равно $BT_a = p-c$. Аналогично, расстояние от вершины $C$ до точки $T_a$ равно $CT_a = p-b$.

Проверим: $BT_a + CT_a = (p-c) + (p-b) = 2p - b - c = (a+b+c) - b - c = a = BC$. Равенство верно.

Аналогично для других сторон, циклически переставляя индексы, получаем:

• На стороне $AC$: $AT_b = p-c$, $CT_b = p-a$.
• На стороне $AB$: $AT_c = p-b$, $BT_c = p-a$.

2. Вычислим отношения синусов для каждой чевианы.

Рассмотрим чевиану $AT_a$ и треугольники $ABT_a$ и $ACT_a$, на которые она разбивает треугольник $ABC$.

По теореме синусов для треугольника $ABT_a$:

$$ \frac{BT_a}{\sin(\angle BAT_a)} = \frac{AT_a}{\sin(\angle B)} \implies \sin(\angle BAT_a) = \frac{BT_a \cdot \sin(\angle B)}{AT_a} $$

По теореме синусов для треугольника $ACT_a$:

$$ \frac{CT_a}{\sin(\angle CAT_a)} = \frac{AT_a}{\sin(\angle C)} \implies \sin(\angle CAT_a) = \frac{CT_a \cdot \sin(\angle C)}{AT_a} $$

Найдем отношение синусов:

$$ \frac{\sin(\angle BAT_a)}{\sin(\angle CAT_a)} = \frac{\frac{BT_a \cdot \sin(\angle B)}{AT_a}}{\frac{CT_a \cdot \sin(\angle C)}{AT_a}} = \frac{BT_a}{CT_a} \cdot \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle C)} $$

Подставим найденные длины отрезков $BT_a = p-c$ и $CT_a = p-b$. Также, по теореме синусов для всего треугольника $ABC$, имеем $\frac{b}{\sin(\angle B)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}$, откуда $\frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle C)} = \frac{b}{c}$.

Таким образом, первое отношение равно:

$$ \frac{\sin(\angle BAT_a)}{\sin(\angle CAT_a)} = \frac{p-c}{p-b} \cdot \frac{b}{c} $$

3. Найдем два других отношения по аналогии.

Для чевианы $BT_b$ (вершина $B$, сторона $AC$, точки $A, C$):

$$ \frac{\sin(\angle CBT_b)}{\sin(\angle ABT_b)} = \frac{CT_b}{AT_b} \cdot \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} = \frac{p-a}{p-c} \cdot \frac{c}{a} $$

Для чевианы $CT_c$ (вершина $C$, сторона $AB$, точки $A, B$):

$$ \frac{\sin(\angle ACT_c)}{\sin(\angle BCT_c)} = \frac{AT_c}{BT_c} \cdot \frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle B)} = \frac{p-b}{p-a} \cdot \frac{a}{b} $$

4. Проверим выполнение условия теоремы Чевы.

Перемножим полученные отношения. Обратите внимание, что в условии теоремы Чевы для вершин $B$ и $C$ отношения обратные тем, что мы вычислили. Поэтому мы должны перевернуть второе и третье отношения при подстановке в формулу Чевы, или, что то же самое, использовать $\frac{\sin(\angle ABE)}{\sin(\angle CBE)} = \frac{1}{\frac{\sin(\angle CBE)}{\sin(\angle ABE)}}$. Используем стандартную формулировку.Обозначим $\angle ABE = \angle ABT_b$, $\angle CBE = \angle CBT_b$, $\angle BCF = \angle BCT_c$, $\angle ACF = \angle ACT_c$.

Произведение для теоремы Чевы:

$$ \frac{\sin(\angle BAT_a)}{\sin(\angle CAT_a)} \cdot \frac{\sin(\angle CBT_b)}{\sin(\angle ABT_b)} \cdot \frac{\sin(\angle ACT_c)}{\sin(\angle BCT_c)} = \left(\frac{p-c}{p-b} \cdot \frac{b}{c}\right) \cdot \left(\frac{p-a}{p-c} \cdot \frac{c}{a}\right) \cdot \left(\frac{p-b}{p-a} \cdot \frac{a}{b}\right) $$

Сгруппируем множители:

$$ = \frac{(p-c)(p-a)(p-b)}{(p-b)(p-c)(p-a)} \cdot \frac{b \cdot c \cdot a}{c \cdot a \cdot b} = 1 \cdot 1 = 1 $$

Условие тригонометрической теоремы Чевы выполняется. Следовательно, отрезки $AT_a$, $BT_b$ и $CT_c$ пересекаются в одной точке.

Ответ: Что и требовалось доказать.