Номер 896, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 896, страница 221.

896 Точки С₁, А₁ и В₁ лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС, причём отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О. Докажите, что COOC₁ • CA₁A₁B • CB₁B₁A (теорема Ван-Обеля).

Для доказательства теоремы Ван-Обеля воспользуемся методом площадей. Пусть $S_{XYZ}$ обозначает площадь треугольника $XYZ$.

1. Выразим отношение $\frac{CO}{OC_1}$ через площади треугольников.Треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle AOC_1$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой $CC_1$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:$ \frac{S_{AOC}}{S_{AOC_1}} = \frac{CO}{OC_1} $Аналогично, для треугольников $\triangle BOC$ и $\triangle BOC_1$ с общей высотой из вершины $B$:$ \frac{S_{BOC}}{S_{BOC_1}} = \frac{CO}{OC_1} $Так как оба отношения равны $\frac{CO}{OC_1}$, мы можем их приравнять и использовать свойство пропорций (если $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, то $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$):$ \frac{CO}{OC_1} = \frac{S_{AOC} + S_{BOC}}{S_{AOC_1} + S_{BOC_1}} $Заметим, что сумма площадей $S_{AOC_1} + S_{BOC_1}$ равна площади треугольника $\triangle AOB$.Таким образом, мы получили первое важное соотношение:$ \frac{CO}{OC_1} = \frac{S_{AOC} + S_{BOC}}{S_{AOB}} $ (1)

2. Теперь выразим отношение $\frac{CA_1}{A_1B}$ через площади.Треугольники $\triangle AA_1C$ и $\triangle AA_1B$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$ на сторону $BC$. Значит, отношение их площадей равно отношению оснований:$ \frac{S_{AA_1C}}{S_{AA_1B}} = \frac{CA_1}{A_1B} $Точно так же треугольники $\triangle OA_1C$ и $\triangle OA_1B$ имеют общую высоту из вершины $O$ на сторону $BC$:$ \frac{S_{OA_1C}}{S_{OA_1B}} = \frac{CA_1}{A_1B} $Из этих равенств следует (используя свойство пропорций, если $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, то $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$):$ \frac{CA_1}{A_1B} = \frac{S_{AA_1C} - S_{OA_1C}}{S_{AA_1B} - S_{OA_1B}} $Разность площадей $S_{AA_1C} - S_{OA_1C}$ равна площади треугольника $\triangle AOC$, а разность $S_{AA_1B} - S_{OA_1B}$ равна площади треугольника $\triangle AOB$.Следовательно:$ \frac{CA_1}{A_1B} = \frac{S_{AOC}}{S_{AOB}} $ (2)

3. Аналогично выразим отношение $\frac{CB_1}{B_1A}$.Треугольники $\triangle BB_1C$ и $\triangle BB_1A$ имеют общую высоту из вершины $B$ на сторону $AC$.$ \frac{S_{BB_1C}}{S_{BB_1A}} = \frac{CB_1}{B_1A} $Треугольники $\triangle OB_1C$ и $\triangle OB_1A$ имеют общую высоту из вершины $O$ на сторону $AC$.$ \frac{S_{OB_1C}}{S_{OB_1A}} = \frac{CB_1}{B_1A} $Применяя то же свойство пропорций:$ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{S_{BB_1C} - S_{OB_1C}}{S_{BB_1A} - S_{OB_1A}} = \frac{S_{BOC}}{S_{AOB}} $ (3)

4. Сложим выражения (2) и (3):$ \frac{CA_1}{A_1B} + \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{S_{AOC}}{S_{AOB}} + \frac{S_{BOC}}{S_{AOB}} = \frac{S_{AOC} + S_{BOC}}{S_{AOB}} $Сравнивая полученный результат с выражением (1), мы видим, что правые части совпадают.Следовательно, равны и левые части:$ \frac{CO}{OC_1} = \frac{CA_1}{A_1B} + \frac{CB_1}{B_1A} $Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\frac{CO}{OC_1} = \frac{CA_1}{A_1B} + \frac{CB_1}{B_1A}$ доказано.