Номер 891, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 891, страница 220.

891 Докажите теорему Менелая (задача 890) для случая, когда точки С₁, А₁ и В₁ лежат на продолжениях сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС.

Теорема Менелая утверждает, что для любого треугольника $ABC$ и прямой, пересекающей его стороны или их продолжения в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$, выполняется равенство:

$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$

Рассмотрим случай, когда прямая пересекает продолжения всех трех сторон треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Прямая $l$ пересекает продолжение стороны $AB$ за точку $B$ в точке $C_1$, продолжение стороны $BC$ за точку $C$ в точке $A_1$ и продолжение стороны $AC$ за точку $A$ в точке $B_1$. Точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на одной прямой.

Доказательство:

Проведем из вершин треугольника $A$, $B$ и $C$ перпендикуляры $AA'$, $BB'$ и $CC'$ к прямой $A_1B_1C_1$. Обозначим длины этих перпендикуляров как $h_A$, $h_B$ и $h_C$ соответственно.

1. Рассмотрим пару прямоугольных треугольников $\triangle AA'C_1$ и $\triangle BB'C_1$. Они подобны по острому углу (углы $\angle AC_1A'$ и $\angle BC_1B'$ равны как вертикальные). Из подобия следует: $\frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AA'}{BB'} = \frac{h_A}{h_B}$. Так как $C_1B = BC_1$, мы можем записать:

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{h_A}{h_B}$ (1)

2. Рассмотрим пару прямоугольных треугольников $\triangle BB'A_1$ и $\triangle CC'A_1$. Они подобны по острому углу (углы $\angle BA_1B'$ и $\angle CA_1C'$ равны как вертикальные). Из подобия следует: $\frac{BA_1}{CA_1} = \frac{BB'}{CC'} = \frac{h_B}{h_C}$. Так как $A_1C = CA_1$, мы можем записать:

$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{h_B}{h_C}$ (2)

3. Рассмотрим пару прямоугольных треугольников $\triangle CC'B_1$ и $\triangle AA'B_1$. Они подобны по острому углу (углы $\angle CB_1C'$ и $\angle AB_1A'$ равны как вертикальные). Из подобия следует: $\frac{CB_1}{AB_1} = \frac{CC'}{AA'} = \frac{h_C}{h_A}$. Так как $B_1A = AB_1$, мы можем записать:

$\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{h_C}{h_A}$ (3)

Теперь перемножим левые и правые части равенств (1), (2) и (3):

$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{h_A}{h_B} \cdot \frac{h_B}{h_C} \cdot \frac{h_C}{h_A}$

В правой части равенства все величины сокращаются:

$\frac{h_A}{h_B} \cdot \frac{h_B}{h_C} \cdot \frac{h_C}{h_A} = 1$

Следовательно,

$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Менелая для случая, когда секущая прямая пересекает продолжения всех трех сторон треугольника, доказана путем рассмотрения трех пар подобных треугольников, образованных перпендикулярами, опущенными из вершин треугольника на секущую прямую. Доказано, что соотношение $\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$ является верным.