Номер 898, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 898, страница 221.

Условие.

898 Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вписанной окружности с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Жергонна).

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для доказательства того, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности на противоположных сторонах, пересекаются в одной точке, мы воспользуемся теоремой Чевы.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его стороны как $a, b, c$, где $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон $BC, AC, AB$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно. Нам нужно доказать, что отрезки (чевианы) $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке.

Теорема Чевы утверждает, что три чевианы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$

Теперь воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной точки. Длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:

• $AC_1 = AB_1$ (касательные из вершины A)
• $BC_1 = BA_1$ (касательные из вершины B)
• $CA_1 = CB_1$ (касательные из вершины C)

Подставим эти равенства в левую часть уравнения из теоремы Чевы:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{AB_1}{BA_1} \cdot \frac{BA_1}{CB_1} \cdot \frac{CB_1}{AB_1} $$

Как мы видим, все члены в числителе и знаменателе сокращаются:

$$ \frac{\cancel{AB_1}}{\cancel{BA_1}} \cdot \frac{\cancel{BA_1}}{\cancel{CB_1}} \cdot \frac{\cancel{CB_1}}{\cancel{AB_1}} = 1 $$

Мы получили, что $1 = 1$. Равенство выполняется. Следовательно, по теореме Чевы, отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна.

Ответ: Утверждение доказано. Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности на противоположных сторонах, пересекаются в одной точке, что следует из теоремы Чевы и свойства касательных к окружности.