Номер 893, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 893, страница 220.

893 Пусть точки С₁, А₁ и В₁ лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС или их продолжениях. Докажите, что если прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке, то верно равенство: AC₁C₁B • BA₁A₁C • CB₁B₁A = 1 (теорема Чевы).

Для доказательства теоремы Чевы воспользуемся методом, основанным на соотношении площадей треугольников. Пусть прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $O$. Рассмотрим случай, когда точка $O$ находится внутри треугольника $ABC$.

Сначала рассмотрим отношение отрезков $\frac{AC_1}{C_1B}$. Эти отрезки лежат на одной прямой $AB$. Отношение их длин равно отношению площадей треугольников $\triangle ACC_1$ и $\triangle BCC_1$, так как они имеют общую высоту, проведенную из вершины $C$ к прямой $AB$.

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{S_{ACC_1}}{S_{BCC_1}}$

Аналогично, для треугольников $\triangle AOC_1$ и $\triangle BOC_1$ с общей вершиной $O$, их площади относятся так же, как и длины их оснований $AC_1$ и $C_1B$:

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{S_{AOC_1}}{S_{BOC_1}}$

Приравнивая два выражения для одного и того же отношения, получаем:

$\frac{S_{ACC_1}}{S_{BCC_1}} = \frac{S_{AOC_1}}{S_{BOC_1}}$

Используя свойство равных отношений (если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a}{b} = \frac{a-c}{b-d}$), получаем:

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{S_{ACC_1} - S_{AOC_1}}{S_{BCC_1} - S_{BOC_1}}$

Заметим, что разность площадей $S_{ACC_1} - S_{AOC_1}$ есть площадь треугольника $\triangle AOC$, а разность $S_{BCC_1} - S_{BOC_1}$ — площадь треугольника $\triangle BOC$. Таким образом, мы установили первое соотношение:

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{S_{AOC}}{S_{BOC}}$ (1)

Проведем абсолютно аналогичные рассуждения для двух других пар отрезков.

Для отрезков на стороне $BC$ (отношение $\frac{BA_1}{A_1C}$):

$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{S_{ABA_1}}{S_{ACA_1}} = \frac{S_{BOA_1}}{S_{COA_1}} = \frac{S_{ABA_1} - S_{BOA_1}}{S_{ACA_1} - S_{COA_1}} = \frac{S_{AOB}}{S_{AOC}}$ (2)

Для отрезков на стороне $AC$ (отношение $\frac{CB_1}{B_1A}$):

$\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{S_{BCB_1}}{S_{BAB_1}} = \frac{S_{OCB_1}}{S_{OAB_1}} = \frac{S_{BCB_1} - S_{OCB_1}}{S_{BAB_1} - S_{OAB_1}} = \frac{S_{BOC}}{S_{AOB}}$ (3)

Теперь перемножим левые и правые части равенств (1), (2) и (3):

$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} \cdot \frac{S_{AOB}}{S_{AOC}} \cdot \frac{S_{BOC}}{S_{AOB}}$

В правой части этого равенства все площади сокращаются:

$\frac{\cancel{S_{AOC}}}{\cancel{S_{BOC}}} \cdot \frac{\cancel{S_{AOB}}}{\cancel{S_{AOC}}} \cdot \frac{\cancel{S_{BOC}}}{\cancel{S_{AOB}}} = 1$

Таким образом, мы доказали, что:

$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$

Это доказательство остается справедливым и для случая, когда точка пересечения $O$ лежит вне треугольника, а точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — на продолжениях сторон. В этом случае некоторые разности площадей заменяются их суммами, но итоговые соотношения для отношений (1), (2) и (3) остаются верными.

Ответ: Равенство $\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$ доказано, что и требовалось в задаче.