Номер 644, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Определение подобных треугольников. 65. Отношение площадей подобных треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 644, страница 166.

644 Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD и DC, если AB = 14 см, ВС = 20 см, АС = 21 см.

Найдите BD и DC

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам.

В треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$. Следовательно, для сторон треугольника и отрезков, на которые биссектриса делит сторону $BC$, справедливо следующее соотношение:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $

Согласно условию задачи, нам известны длины сторон: $AB = 14$ см, $AC = 21$ см. Подставим эти значения в пропорцию:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{14}{21} $

Сократим полученную дробь, разделив ее числитель и знаменатель на 7:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{2}{3} $

Также по условию известно, что длина стороны $BC$ равна 20 см. Так как точка $D$ лежит на стороне $BC$, то $BC = BD + DC$.

$ BD + DC = 20 $

Для нахождения длин отрезков $BD$ и $DC$ составим и решим систему уравнений. Введем переменную: пусть длина отрезка $BD$ равна $x$ см. Тогда длина отрезка $DC$ будет равна $(20 - x)$ см.

Подставим эти выражения в нашу пропорцию:

$ \frac{x}{20 - x} = \frac{2}{3} $

Решим полученное уравнение относительно $x$, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ 3 \cdot x = 2 \cdot (20 - x) $

Раскроем скобки в правой части:

$ 3x = 40 - 2x $

Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую:

$ 3x + 2x = 40 $

$ 5x = 40 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{40}{5} $

$ x = 8 $

Таким образом, длина отрезка $BD$ равна 8 см.

Теперь найдем длину отрезка $DC$:

$ DC = 20 - BD = 20 - 8 = 12 $ см.

Ответ: $BD = 8$ см, $DC = 12$ см.