Номер 638, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 638, страница 161.

638 На клетчатой бумаге (рис. 218) изображены треугольники. Найдите их площади.

Для нахождения площадей треугольников, изображенных на клетчатой бумаге, используем тот факт, что сторона каждой клетки равна 1 см. Таким образом, площадь одной клетки составляет $1 \text{ см}^2$.

а)

Треугольник а) является прямоугольным. Его площадь можно найти как половину произведения его катетов. Длина горизонтального катета (основания) составляет 5 клеток, то есть $a = 5$ см. Длина вертикального катета (высоты) составляет 3 клетки, то есть $h = 3$ см. Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$
Подставив значения, получаем: $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = \frac{15}{2} \text{ см}^2 = 7.5 \text{ см}^2$.
Ответ: $7.5 \text{ см}^2$.

б)

Для нахождения площади треугольника б) используем формулу площади треугольника через основание и высоту. В качестве основания $a$ выберем горизонтальную сторону. Ее длина составляет 5 клеток, то есть $a = 5$ см. Высота $h$, проведенная к этому основанию от верхней вершины, перпендикулярна основанию и ее длина составляет 3 клетки, то есть $h = 3$ см.
Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 7.5 \text{ см}^2$.
Ответ: $7.5 \text{ см}^2$.

в)

Площадь этого треугольника удобно найти, вписав его в прямоугольник и вычитая площади "лишних" прямоугольных треугольников по углам. Зададим условную систему координат так, чтобы вершины треугольника имели координаты (0,1), (2,0) и (3,4). Опишем вокруг треугольника прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат. Вершины этого прямоугольника будут в точках (0,0) и (3,4). Площадь этого прямоугольника: $S_{прям} = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
Теперь найдем площади трех прямоугольных треугольников, которые отсекаются от прямоугольника сторонами вписанного треугольника:
Площадь первого (в левом нижнем углу) с катетами 2 см и 1 см: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \text{ см}^2$.
Площадь второго (в правом нижнем углу) с катетами (3-2)=1 см и 4 см: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2 \text{ см}^2$.
Площадь третьего (в левом верхнем углу) с катетами 3 см и (4-1)=3 см: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5 \text{ см}^2$.
Площадь искомого треугольника равна разности площади прямоугольника и суммы площадей этих трех треугольников: $S = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3) = 12 - (1 + 2 + 4.5) = 12 - 7.5 = 4.5 \text{ см}^2$.
Ответ: $4.5 \text{ см}^2$.

г)

Для нахождения площади используем метод вычитания из площади прямоугольника. Зададим условные координаты вершин треугольника: (0,2), (1,0) и (4,4). Опишем вокруг треугольника прямоугольник, стороны которого проходят через его крайние точки. Вершины прямоугольника будут в точках (0,0) и (4,4). Площадь прямоугольника: $S_{прям} = 4 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 16 \text{ см}^2$.
Теперь вычтем площади трех прямоугольных треугольников, находящихся в углах:
$S_1$ (левый нижний угол) с катетами 1 см и 2 см: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1 \text{ см}^2$.
$S_2$ (правый нижний угол) с катетами (4-1)=3 см и 4 см: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ см}^2$.
$S_3$ (левый верхний угол) с катетами 4 см и (4-2)=2 см: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 \text{ см}^2$.
Площадь искомого треугольника: $S = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3) = 16 - (1 + 6 + 4) = 16 - 11 = 5 \text{ см}^2$.
Ответ: $5 \text{ см}^2$.

д)

Применим метод трапеций. Зададим условные координаты вершин, отсортировав их по горизонтальной оси: (0,1), (3,4), (5,2). Площадь треугольника можно найти, сложив площади трапеций под сторонами (0,1)-(3,4) и (3,4)-(5,2), и вычтя площадь трапеции под стороной (0,1)-(5,2).
Площадь под отрезком от (0,1) до (3,4): это прямоугольная трапеция с основаниями 1 и 4, и высотой 3. $S_1 = \frac{1}{2}(1+4) \cdot 3 = 7.5 \text{ см}^2$.
Площадь под отрезком от (3,4) до (5,2): это прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 2, и высотой (5-3)=2. $S_2 = \frac{1}{2}(4+2) \cdot 2 = 6 \text{ см}^2$.
Площадь под отрезком от (0,1) до (5,2): это прямоугольная трапеция с основаниями 1 и 2, и высотой 5. $S_3 = \frac{1}{2}(1+2) \cdot 5 = 7.5 \text{ см}^2$.
Искомая площадь треугольника: $S = S_1 + S_2 - S_3 = 7.5 + 6 - 7.5 = 6 \text{ см}^2$.
Ответ: $6 \text{ см}^2$.