Номер 632, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора. Дополнительные задачи - номер 632, страница 161.

Условие.

632 В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дана равнобедренная трапеция, в которой диагональ $d = 10$ см, а высота $h = 6$ см. Обозначим трапецию как $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD$ является большим основанием.

Для нахождения площади трапеции используется формула:

$S = m \cdot h$, где $m$ – средняя линия, а $h$ – высота.

Средняя линия трапеции вычисляется как $m = \frac{AD+BC}{2}$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. У нас образуется прямоугольный треугольник $\triangle AHC$. В этом треугольнике гипотенуза $AC$ является диагональю трапеции ($AC = 10$ см), а катет $CH$ является высотой трапеции ($CH = 6$ см).

Используя теорему Пифагора, найдем длину второго катета $AH$:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$10^2 = AH^2 + 6^2$

$100 = AH^2 + 36$

$AH^2 = 100 - 36 = 64$

$AH = \sqrt{64} = 8$ см.

В равнобедренной трапеции отрезок большего основания от вершины до основания высоты, проведенной из другой вершины (в нашем случае это отрезок $AH$), равен средней линии трапеции. Давайте это покажем.

Проведем вторую высоту $BK$ из вершины $B$. Так как трапеция равнобедренная, прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DCH$ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, $AK = DH$. Четырехугольник $KBCH$ является прямоугольником, поэтому $KH = BC$.

Длина отрезка $AH$ равна сумме $AK$ и $KH$. То есть, $AH = AK + KH$.

Средняя линия трапеции $m = \frac{AD+BC}{2}$. Заменим $AD$ на $AK+KH+DH$ и $BC$ на $KH$:

$m = \frac{(AK+KH+DH)+KH}{2}$

Так как $AK=DH$, то:

$m = \frac{AK+KH+AK+KH}{2} = \frac{2 \cdot AK + 2 \cdot KH}{2} = AK+KH$

Мы видим, что $AH = AK+KH$, и средняя линия $m = AK+KH$. Следовательно, $AH = m$.

Таким образом, средняя линия нашей трапеции равна 8 см.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = m \cdot h = 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.