Номер 637, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 637, страница 161.

637 В треугольнике ABC проведена высота ВН. Докажите, что если:

а) угол А острый, то ВС² = AB² + AC² − 2AC • АН;

б) угол А тупой, то ВС² = AB² + АС² + 2АС • АH.

а)

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена высота $BH$, а угол $A$ — острый. Высота $BH$ перпендикулярна прямой $AC$, поэтому треугольники $BHA$ и $BHC$ являются прямоугольными.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BHC$ имеем:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BHA$ имеем:

$AB^2 = BH^2 + AH^2$

Из второго равенства выразим $BH^2$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

Теперь подставим это выражение для $BH^2$ в первое равенство:

$BC^2 = (AB^2 - AH^2) + HC^2$

Так как угол $A$ острый, основание высоты $H$ лежит на луче $AC$. Возможны два случая расположения точки $H$ относительно точки $C$:

1. Если угол $C$ острый, то точка $H$ лежит на отрезке $AC$. Тогда $HC = AC - AH$.

2. Если угол $C$ тупой, то точка $C$ лежит между точками $A$ и $H$. Тогда $HC = AH - AC$.

В обоих случаях квадрат длины отрезка $HC$ будет равен $(AC - AH)^2$, так как $(AH - AC)^2 = (-(AC-AH))^2 = (AC - AH)^2$.

Подставим $HC^2 = (AC - AH)^2$ в наше выражение для $BC^2$:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + (AC - AH)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + AC^2 - 2 \cdot AC \cdot AH + AH^2$

Сократим подобные слагаемые ($-AH^2$ и $AH^2$):

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AC \cdot AH$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH$.

б)

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена высота $BH$, а угол $A$ — тупой. Так как $\angle A$ тупой, основание высоты $H$ будет лежать на продолжении стороны $AC$ за вершину $A$. Таким образом, точка $A$ лежит между точками $H$ и $C$.

Высота $BH$ образует два прямоугольных треугольника: $\triangle BHA$ и $\triangle BHC$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BHC$ имеем:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BHA$ имеем:

$AB^2 = BH^2 + AH^2$

Из второго равенства выразим $BH^2$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

Подставим это выражение для $BH^2$ в первое равенство:

$BC^2 = (AB^2 - AH^2) + HC^2$

Так как точка $A$ лежит между $H$ и $C$, то длина отрезка $HC$ равна сумме длин отрезков $HA$ и $AC$:

$HC = AH + AC$

Подставим это выражение для $HC$ в нашу формулу для $BC^2$:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + (AH + AC)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + AH^2 + 2 \cdot AC \cdot AH + AC^2$

Сократим подобные слагаемые ($-AH^2$ и $AH^2$):

$BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2 \cdot AC \cdot AH$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH$.