Номер 630, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 630, страница 160.

630 Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника ABC, до прямой AB равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если AB = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см.

Для решения данной задачи воспользуемся методом площадей. Идея заключается в том, что площадь большого треугольника $ABC$ можно представить как сумму площадей трех меньших треугольников: $AMB$, $BMC$ и $AMC$, которые образуются при соединении точки $M$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. Расстояния от точки $M$ до сторон треугольника $ABC$ являются высотами для треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$.

Пусть $d_{AB}$, $d_{AC}$ и $d_{BC}$ — расстояния от точки $M$ до сторон $AB$, $AC$ и $BC$ соответственно.По условию:
Сторона $AB = 13$ см, расстояние до нее $d_{AB} = 6$ см.
Сторона $AC = 15$ см, расстояние до нее $d_{AC} = 2$ см.
Сторона $BC = 14$ см, расстояние до нее $d_{BC}$ нужно найти.

Площади малых треугольников равны:
$S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d_{AB} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39$ см².
$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot d_{AC} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 2 = 15$ см².
$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot d_{BC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot d_{BC} = 7 \cdot d_{BC}$.

Сумма площадей этих треугольников равна площади треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = S_{AMB} + S_{AMC} + S_{BMC} = 39 + 15 + 7 \cdot d_{BC} = 54 + 7 \cdot d_{BC}$.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, так как известны длины всех его сторон ($a=14$, $b=15$, $c=13$).
1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{14+15+13}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
2. Вычислим площадь $S_{ABC}$ по формуле $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$:
$S_{ABC} = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8}$
$S_{ABC} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2^3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см².

Приравняем два полученных выражения для площади $S_{ABC}$ и найдем $d_{BC}$:
$84 = 54 + 7 \cdot d_{BC}$
$7 \cdot d_{BC} = 84 - 54$
$7 \cdot d_{BC} = 30$
$d_{BC} = \frac{30}{7}$ см.

Ответ: $\frac{30}{7}$ см.