Номер 635, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 635, страница 161.

635 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС высота AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника ABC, если медиана DM треугольника ADC равна 8 см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, высота $AD$, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $D$ — середина основания $BC$, а также $AD \perp BC$. Это означает, что треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

В условии сказано, что $DM$ — медиана треугольника $ADC$. Так как $\triangle ADC$ — прямоугольный, медиана $DM$, проведенная к гипотенузе $AC$, равна половине этой гипотенузы.

Известно, что $DM = 8$ см. Тогда длина гипотенузы $AC$ равна:$AC = 2 \cdot DM = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. Мы знаем длину гипотенузы $AC = 16$ см и одного катета $AD = 8$ см (высота треугольника $ABC$). Мы можем найти длину второго катета $DC$ по теореме Пифагора:$AC^2 = AD^2 + DC^2$$16^2 = 8^2 + DC^2$$256 = 64 + DC^2$$DC^2 = 256 - 64 = 192$$DC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Так как $D$ — середина основания $BC$, то длина всего основания равна:$BC = 2 \cdot DC = 2 \cdot 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD$Подставим известные значения:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 8 = 8\sqrt{3} \cdot 8 = 64\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{3}$ см$^2$.