Номер 541, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 1. Площадь многоугольника. 56. Площадь прямоугольника - номер 541, страница 144.

Условие.

541 Вырежите из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Возьмем два равных прямоугольных треугольника. Пусть длины их катетов равны $a$ и $b$, а длина гипотенузы — $c$. Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле $S_{тр} = \frac{1}{2}ab$.

а) Чтобы составить равнобедренный треугольник, необходимо приложить два равных прямоугольных треугольника друг к другу по одному из равных катетов. Например, соединим их по катету длиной $a$. В результате получится новый треугольник. Две его стороны будут равны гипотенузам исходных треугольников (то есть обе равны $c$), а третья сторона (основание) будет равна удвоенной длине второго катета, то есть $2b$. Так как у полученного треугольника две стороны равны, он является равнобедренным. Его высота, проведенная к основанию, будет равна $a$.
Площадь этого равнобедренного треугольника можно найти как сумму площадей двух исходных треугольников: $S_а = S_{тр} + S_{тр} = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) = ab$.

Ответ: Равнобедренный треугольник можно получить, приложив два исходных прямоугольных треугольника друг к другу одним из равных катетов.

б) Чтобы составить прямоугольник, нужно соединить два равных прямоугольных треугольника по их гипотенузам. Для этого один из треугольников следует мысленно повернуть на 180° и приложить его гипотенузой к гипотенузе другого треугольника. Углы полученного четырехугольника будут прямыми, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Стороны этого прямоугольника будут равны катетам $a$ и $b$ исходных треугольников.
Площадь полученного прямоугольника равна произведению его сторон: $S_б = a \cdot b$.

Ответ: Прямоугольник получается при соединении двух исходных треугольников по гипотенузе (один из треугольников предварительно поворачивается на 180°).

в) Чтобы составить параллелограмм, отличный от прямоугольника, можно соединить два треугольника по одному из равных катетов (например, по катету $b$) таким образом, чтобы они были симметричны относительно середины этого катета. В результате получится параллелограмм, у которого смежные стороны равны другому катету ($a$) и гипотенузе ($c$) исходного треугольника. Углы этого параллелограмма не будут прямыми (за исключением случая, когда исходный треугольник — равнобедренный, и тогда получается квадрат).
Площадь этого параллелограмма также равна сумме площадей двух исходных треугольников: $S_в = 2 \cdot S_{тр} = ab$.

Ответ: Параллелограмм, отличный от прямоугольника, можно получить, соединив треугольники по одному из равных катетов так, чтобы они были симметричны относительно середины этого катета.

Сравним площади полученных фигур.
Площадь равнобедренного треугольника: $S_а = ab$.
Площадь прямоугольника: $S_б = ab$.
Площадь параллелограмма: $S_в = ab$.
Таким образом, $S_а = S_б = S_в$.
Это объясняется тем, что все три фигуры составлены из двух одних и тех же равных прямоугольных треугольников, а площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

Ответ: Площади всех трех полученных фигур равны между собой.