Номер 541, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Площадь многоугольника. 56. Площадь прямоугольника. Глава 7. Площадь - номер 541, страница 144.

541 Вырежите из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур.

Возьмем два равных прямоугольных треугольника. Пусть длины их катетов равны $a$ и $b$, а длина гипотенузы — $c$. Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле $S_{тр} = \frac{1}{2}ab$.

а) Чтобы составить равнобедренный треугольник, необходимо приложить два равных прямоугольных треугольника друг к другу по одному из равных катетов. Например, соединим их по катету длиной $a$. В результате получится новый треугольник. Две его стороны будут равны гипотенузам исходных треугольников (то есть обе равны $c$), а третья сторона (основание) будет равна удвоенной длине второго катета, то есть $2b$. Так как у полученного треугольника две стороны равны, он является равнобедренным. Его высота, проведенная к основанию, будет равна $a$.
Площадь этого равнобедренного треугольника можно найти как сумму площадей двух исходных треугольников: $S_а = S_{тр} + S_{тр} = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) = ab$.

Ответ: Равнобедренный треугольник можно получить, приложив два исходных прямоугольных треугольника друг к другу одним из равных катетов.

б) Чтобы составить прямоугольник, нужно соединить два равных прямоугольных треугольника по их гипотенузам. Для этого один из треугольников следует мысленно повернуть на 180° и приложить его гипотенузой к гипотенузе другого треугольника. Углы полученного четырехугольника будут прямыми, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Стороны этого прямоугольника будут равны катетам $a$ и $b$ исходных треугольников.
Площадь полученного прямоугольника равна произведению его сторон: $S_б = a \cdot b$.

Ответ: Прямоугольник получается при соединении двух исходных треугольников по гипотенузе (один из треугольников предварительно поворачивается на 180°).

в) Чтобы составить параллелограмм, отличный от прямоугольника, можно соединить два треугольника по одному из равных катетов (например, по катету $b$) таким образом, чтобы они были симметричны относительно середины этого катета. В результате получится параллелограмм, у которого смежные стороны равны другому катету ($a$) и гипотенузе ($c$) исходного треугольника. Углы этого параллелограмма не будут прямыми (за исключением случая, когда исходный треугольник — равнобедренный, и тогда получается квадрат).
Площадь этого параллелограмма также равна сумме площадей двух исходных треугольников: $S_в = 2 \cdot S_{тр} = ab$.

Ответ: Параллелограмм, отличный от прямоугольника, можно получить, соединив треугольники по одному из равных катетов так, чтобы они были симметричны относительно середины этого катета.

Сравним площади полученных фигур.
Площадь равнобедренного треугольника: $S_а = ab$.
Площадь прямоугольника: $S_б = ab$.
Площадь параллелограмма: $S_в = ab$.
Таким образом, $S_а = S_б = S_в$.
Это объясняется тем, что все три фигуры составлены из двух одних и тех же равных прямоугольных треугольников, а площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

Ответ: Площади всех трех полученных фигур равны между собой.