Номер 537, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 537, страница 138.

537 Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Пусть дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$. Осью симметрии фигуры называется прямая, при отражении (симметрии) относительно которой фигура переходит сама в себя. Нам нужно доказать, что прямые, содержащие диагонали $AC$ и $BD$, являются осями симметрии ромба.

Для доказательства воспользуемся основными свойствами ромба. Во-первых, все стороны ромба равны ($AB=BC=CD=DA$). Во-вторых, диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$). В-третьих, диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам (пусть $O$ — точка пересечения диагоналей, тогда $AO=OC$ и $BO=OD$).

Сначала докажем, что прямая, содержащая диагональ $AC$, является осью симметрии. По определению осевой симметрии, точки, лежащие на оси, отображаются сами на себя. Следовательно, вершины $A$ и $C$ при симметрии относительно прямой $AC$ переходят в себя. Рассмотрим вершины $B$ и $D$. Из свойств ромба мы знаем, что $AC \perp BD$ и $BO = OD$. Это означает, что прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. По определению осевой симметрии, точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$. Таким образом, при симметрии относительно прямой $AC$ вершина $B$ переходит в вершину $D$, а вершина $D$ — в вершину $B$. В итоге, ромб $ABCD$ (четырехугольник с вершинами в указанном порядке) отображается на ромб $ADCB$, что является той же самой фигурой. Следовательно, прямая $AC$ является осью симметрии ромба.

Теперь докажем, что прямая, содержащая диагональ $BD$, также является осью симметрии. Аналогично, вершины $B$ и $D$, лежащие на этой прямой, при симметрии относительно $BD$ переходят сами в себя. Рассмотрим вершины $A$ и $C$. Из свойств ромба мы знаем, что $BD \perp AC$ и $AO = OC$. Это означает, что прямая $BD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Следовательно, точки $A$ и $C$ симметричны относительно прямой $BD$. При симметрии относительно прямой $BD$ вершина $A$ переходит в вершину $C$, а вершина $C$ — в вершину $A$. В итоге, ромб $ABCD$ переходит в ромб $CBAD$, то есть отображается сам на себя. Следовательно, прямая $BD$ также является осью симметрии ромба.

Таким образом, мы доказали, что обе прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Ответ: Что и требовалось доказать.