Номер 530, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 530, страница 137.

530 Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Расстояние от точки до стороны определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную сторону. Нам необходимо доказать, что точка $O$ равноудалена от сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

Опустим перпендикуляры из точки $O$ на стороны ромба: $OK \perp AB$, $OL \perp BC$, $OM \perp CD$ и $ON \perp DA$. Требуется доказать, что длины этих перпендикуляров равны, то есть $OK = OL = OM = ON$.

Доказательство:

Рассмотрим четыре треугольника, которые образуются при пересечении диагоналей ромба: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Используем свойства ромба:
1. Все стороны ромба равны: $AB = BC = CD = DA$.
2. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Сравним эти четыре треугольника. Например, рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$:

• $AB = BC$ (как стороны одного ромба).
• $AO = OC$ (по свойству диагоналей ромба).
• $BO$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle BOC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Аналогично доказывается, что все четыре треугольника равны между собой: $\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle DOA$.

Перпендикуляры $OK$, $OL$, $OM$ и $ON$ являются высотами в этих треугольниках, проведенными из общей вершины $O$ к сторонам ромба.

Поскольку треугольники равны, то и их соответствующие элементы равны. Высоты, проведенные к равным сторонам ($AB = BC = CD = DA$), также должны быть равны.

Таким образом, $OK = OL = OM = ON$. Это означает, что точка пересечения диагоналей $O$ равноудалена от всех сторон ромба.

Ответ: Что и требовалось доказать.