Номер 530, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Дополнительные задачи - номер 530, страница 137.

Условие.

530 Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Расстояние от точки до стороны определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную сторону. Нам необходимо доказать, что точка $O$ равноудалена от сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

Опустим перпендикуляры из точки $O$ на стороны ромба: $OK \perp AB$, $OL \perp BC$, $OM \perp CD$ и $ON \perp DA$. Требуется доказать, что длины этих перпендикуляров равны, то есть $OK = OL = OM = ON$.

Доказательство:

Рассмотрим четыре треугольника, которые образуются при пересечении диагоналей ромба: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Используем свойства ромба:
1. Все стороны ромба равны: $AB = BC = CD = DA$.
2. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Сравним эти четыре треугольника. Например, рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$:

• $AB = BC$ (как стороны одного ромба).
• $AO = OC$ (по свойству диагоналей ромба).
• $BO$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle BOC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Аналогично доказывается, что все четыре треугольника равны между собой: $\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle DOA$.

Перпендикуляры $OK$, $OL$, $OM$ и $ON$ являются высотами в этих треугольниках, проведенными из общей вершины $O$ к сторонам ромба.

Поскольку треугольники равны, то и их соответствующие элементы равны. Высоты, проведенные к равным сторонам ($AB = BC = CD = DA$), также должны быть равны.

Таким образом, $OK = OL = OM = ON$. Это означает, что точка пересечения диагоналей $O$ равноудалена от всех сторон ромба.

Ответ: Что и требовалось доказать.