Номер 524, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 524, страница 137.

524 В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором по условию смежные стороны не равны ($AB \neq BC$). Проведем биссектрисы всех четырех углов. Пусть биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $E$, биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$ — в точке $F$, биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle D$ — в точке $G$, а биссектрисы углов $\angle D$ и $\angle A$ — в точке $H$. Таким образом, образуется четырехугольник $EFGH$. Нам необходимо доказать, что $EFGH$ является прямоугольником.

Для доказательства того, что четырехугольник является прямоугольником, достаточно показать, что все его внутренние углы равны $90^\circ$.

Рассмотрим пересечение биссектрис углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, например, стороне $AB$. Этими углами являются $\angle A$ и $\angle B$. По свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$: $ \angle A + \angle B = 180^\circ $

Биссектрисы $AH$ и $BE$ делят углы $\angle A$ и $\angle B$ пополам. Рассмотрим треугольник $ABE$. Его углы $\angle EAB$ и $\angle EBA$ равны: $ \angle EAB = \frac{1}{2} \angle A $ $ \angle EBA = \frac{1}{2} \angle B $

Сумма углов в треугольнике $ABE$ равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle AEB$: $ \angle AEB = 180^\circ - (\angle EAB + \angle EBA) $ $ \angle AEB = 180^\circ - \left(\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B\right) $ $ \angle AEB = 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) $ Подставим известное значение суммы углов $\angle A$ и $\angle B$: $ \angle AEB = 180^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $

Угол $\angle AEB$ является одним из углов четырехугольника $EFGH$ (а именно, $\angle HEF$). Таким образом, мы доказали, что $\angle HEF = 90^\circ$.

Аналогичные рассуждения можно применить и к другим парам смежных углов параллелограмма:

• Для углов $\angle B$ и $\angle C$: $\angle B + \angle C = 180^\circ$. Биссектрисы этих углов пересекаются в точке $F$. В треугольнике $BFC$ угол $\angle BFC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle EFG = 90^\circ$.
• Для углов $\angle C$ и $\angle D$: $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Биссектрисы этих углов пересекаются в точке $G$. В треугольнике $CGD$ угол $\angle CGD = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle FGH = 90^\circ$.
• Для углов $\angle D$ и $\angle A$: $\angle D + \angle A = 180^\circ$. Биссектрисы этих углов пересекаются в точке $H$. В треугольнике $DHA$ угол $\angle DHA = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle D + \angle A) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle GHE = 90^\circ$.

Поскольку все четыре угла ($\angle HEF$, $\angle EFG$, $\angle FGH$, $\angle GHE$) четырехугольника $EFGH$ равны $90^\circ$, по определению этот четырехугольник является прямоугольником. Условие неравенства смежных сторон необходимо для того, чтобы параллелограмм не был ромбом, в котором все биссектрисы пересеклись бы в одной точке.

Ответ: Мы доказали, что биссектрисы углов, прилежащих к каждой стороне параллелограмма, пересекаются под прямым углом. Таким образом, четырехугольник, образованный точками пересечения биссектрис, имеет четыре прямых угла, а значит, является прямоугольником, что и требовалось доказать.