Номер 522, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 522, страница 137.

522 Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Согласно условию, его стороны равны 10 см и 3 см. Пусть большая сторона $AD = 10$ см, а боковая сторона $AB = 3$ см. Тогда противоположные стороны также равны: $BC = AD = 10$ см и $CD = AB = 3$ см.

Рассмотрим биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне $AD$, то есть углов $?A$ и $?D$. Пусть биссектриса угла $A$, назовем ее $AK$, пересекает противоположную сторону $BC$ в точке $K$. Пусть биссектриса угла $D$, назовем ее $DM$, пересекает сторону $BC$ в точке $M$.

1. Рассмотрим треугольник $ABK$. Так как в параллелограмме стороны $AD$ и $BC$ параллельны, то $?DAK$ и $?BKA$ являются накрест лежащими углами при секущей $AK$. Следовательно, $?DAK = ?BKA$. По определению биссектрисы, $AK$ делит угол $A$ пополам, поэтому $?DAK = ?BAK$. Из этого следует, что $?BKA = ?BAK$. Таким образом, треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$, а значит, его боковые стороны равны: $BK = AB = 3$ см.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $CDM$. Так как $AD \parallel BC$, то $?ADM$ и $?CMD$ являются накрест лежащими углами при секущей $DM$. Следовательно, $?ADM = ?CMD$. По определению биссектрисы, $DM$ делит угол $D$ пополам, поэтому $?ADM = ?CDM$. Из этого следует, что $?CMD = ?CDM$. Таким образом, треугольник $CDM$ является равнобедренным с основанием $DM$, а значит, его боковые стороны равны: $CM = CD = 3$ см.

3. Точки $K$ и $M$ лежат на стороне $BC$ и делят ее на три отрезка. Мы нашли длины двух крайних отрезков: $BK = 3$ см и $CM = 3$ см. Длина всей стороны $BC$ составляет 10 см. Чтобы найти длину среднего отрезка $KM$, нужно из длины всей стороны вычесть длины двух найденных отрезков:
$KM = BC - BK - CM = 10 \text{ см} - 3 \text{ см} - 3 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Следовательно, биссектрисы делят противоположную сторону на три отрезка, длины которых равны 3 см, 4 см и 3 см.

Ответ: длины отрезков равны 3 см, 4 см и 3 см.