Номер 19, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 6. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 19, страница 136.

19 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках ромба.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Признаки ромба — это свойства, по которым можно установить, что данный параллелограмм является ромбом. Сформулируем и докажем основные из них.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AC$ и $BD$ — его диагонали, $AC \perp BD$.
Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:

Пусть диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ (угол $\angle AOB = 90^\circ$ по условию). По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.

1. $AO = OC$ (по свойству диагоналей параллелограмма).
2. $BO$ — общая сторона.
3. $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$ (так как $AC \perp BD$).

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COB$ по двум катетам (или по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CB$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны: $AB = CD$ и $CB = AD$.

Сопоставляя все равенства, получаем: $AB = CB = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

Признак 2. Если в параллелограмме диагональ является биссектрисой его углов, то этот параллелограмм — ромб.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, диагональ $AC$ — биссектриса угла $\angle BAD$ (и, следовательно, угла $\angle BCD$).
Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$. Это означает, что $\angle BAC = \angle CAD$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AC$. Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Из условий $\angle BAC = \angle CAD$ (по условию) и $\angle BCA = \angle CAD$ (как накрест лежащие) следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нем два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA$), следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $AB = BC$.

Так как в параллелограмме $ABCD$ смежные стороны $AB$ и $BC$ равны, а противоположные стороны также равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), то все его стороны равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.

Следовательно, параллелограмм $ABCD$ является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм, в котором диагональ является биссектрисой углов, является ромбом.

Признак 3. Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то этот параллелограмм — ромб.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AB = BC$.
Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:

По определению параллелограмма, его противоположные стороны равны. Таким образом, для параллелограмма $ABCD$ выполняются равенства:

• $AB = CD$
• $BC = AD$

По условию, смежные стороны $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$.

Объединяя эти равенства, получаем, что все стороны равны: $AB = BC = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с двумя равными смежными сторонами является ромбом.