Номер 14, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 6. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 14, страница 136.

14 Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма и признаками равенства треугольников.

Дано:

ABCD — параллелограмм.

AC и BD — диагонали.

$ AC = BD $.

Доказать:

ABCD — прямоугольник.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, образованных сторонами и диагоналями параллелограмма: $ \triangle ABD $ и $ \triangle DCA $.

В этих треугольниках:

1. $ AB = CD $ (как противоположные стороны параллелограмма).
2. $ AD $ — общая сторона.
3. $ BD = AC $ (по условию задачи).

Следовательно, треугольник $ \triangle ABD $ равен треугольнику $ \triangle DCA $ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $ \angle BAD $ в треугольнике $ \triangle ABD $ лежит напротив стороны BD. Угол $ \angle CDA $ в треугольнике $ \triangle DCA $ лежит напротив стороны AC. Так как стороны $ BD $ и $ AC $ равны, то и противолежащие им углы равны:

$ \angle BAD = \angle CDA $

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $ 180^\circ $. Углы $ \angle BAD $ и $ \angle CDA $ прилежат к стороне AD, следовательно:

$ \angle BAD + \angle CDA = 180^\circ $

Поскольку мы доказали, что эти углы равны, мы можем заменить $ \angle CDA $ на $ \angle BAD $:

$ \angle BAD + \angle BAD = 180^\circ $

$ 2 \cdot \angle BAD = 180^\circ $

$ \angle BAD = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, по определению является прямоугольником. Так как мы нашли, что угол $ \angle BAD = 90^\circ $, то параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.