Номер 7, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Вопросы для повторения к главе 6 - номер 7, страница 136.

Условие.

7 Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Для доказательства утверждения рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению, у параллелограмма противоположные стороны попарно параллельны, то есть $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Проведем диагональ $AC$, которая делит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Докажем, что эти треугольники равны. Для этого рассмотрим их элементы:

1. Угол $\angle 1$ ($\angle BCA$) равен углу $\angle 2$ ($\angle DAC$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.
2. Угол $\angle 3$ ($\angle BAC$) равен углу $\angle 4$ ($\angle DCA$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.
3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

противоположные стороны равны

Поскольку треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны, то их соответствующие стороны равны. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

• Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle 1$, а сторона $CD$ — напротив равного ему угла $\angle 2$. Следовательно, $AB = CD$.
• Сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle 3$, а сторона $AD$ — напротив равного ему угла $\angle 4$. Следовательно, $BC = AD$.

Мы доказали, что в параллелограмме противоположные стороны попарно равны.

Ответ: Противоположные стороны параллелограмма равны, что и требовалось доказать.

противоположные углы равны

Из равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ следует также равенство их соответствующих углов.

• Угол $\angle B$ в $\triangle ABC$ равен углу $\angle D$ в $\triangle CDA$, так как они лежат против общей стороны $AC$.
• Угол $\angle A$ параллелограмма состоит из суммы углов $\angle 2$ и $\angle 3$. Угол $\angle C$ состоит из суммы углов $\angle 1$ и $\angle 4$. Так как мы уже установили, что $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$, то $\angle A = \angle 3 + \angle 2 = \angle 4 + \angle 1 = \angle C$.

Мы доказали, что в параллелограмме противоположные углы попарно равны.

Ответ: Противоположные углы параллелограмма равны, что и требовалось доказать.