Номер 9, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 6. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 9, страница 136.

9 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.

Существует несколько признаков, по которым можно определить, является ли четырёхугольник параллелограммом. Сформулируем и докажем основные из них.

Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Пусть в нём сторона $AB$ параллельна стороне $CD$ и равна ей по длине, то есть $AB \parallel CD$ и $AB = CD$. Проведём диагональ $AC$, которая разделяет четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

В этих треугольниках сторона $AC$ является общей. Стороны $AB$ и $CD$ равны по условию ($AB = CD$). Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DAC$.

Эти углы являются накрест лежащими для прямых $BC$ и $AD$ при секущей $AC$. Поскольку они равны, прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Таким образом, в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ по условию и $BC \parallel AD$ по доказанному). По определению, такой четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано.

Если в четырёхугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB = CD$ и $BC = AD$. Проведём диагональ $AC$, которая разделит четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Сравним эти треугольники. Стороны $AB$ и $CD$ равны по условию, стороны $BC$ и $AD$ также равны по условию, а сторона $AC$ — общая. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. В частности, $\angle BAC = \angle DCA$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $AB \parallel CD$. Также из равенства треугольников следует, что $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$, следовательно $BC \parallel AD$.

Поскольку в четырёхугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. В них стороны $AO$ и $OC$ равны по условию, стороны $BO$ и $OD$ также равны по условию. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$.

Углы $\angle OAB$ (или $\angle CAB$) и $\angle OCD$ (или $\angle ACD$) являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как эти углы равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Таким образом, в четырёхугольнике $ABCD$ две противолежащие стороны ($AB$ и $CD$) равны и параллельны. По первому признаку, который был доказан выше, четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано.