Номер 6, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Вопросы для повторения к главе 6 - номер 6, страница 136.

Условие.

6 Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырёхугольником?

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Дайте определение параллелограмма.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие (противоположные) стороны попарно параллельны.
Это означает, что если мы имеем четырёхугольник $ABCD$, то он является параллелограммом, если сторона $AB$ параллельна стороне $CD$, а сторона $BC$ параллельна стороне $AD$. Математически это записывается так: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Ответ: Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Является ли параллелограмм выпуклым четырёхугольником?

Да, любой параллелограмм является выпуклым четырёхугольником. Чтобы это доказать, необходимо сначала дать определение выпуклого четырёхугольника и проверить, соответствует ли ему параллелограмм.

Четырёхугольник (и в общем случае любой многоугольник) называется выпуклым, если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

1. Он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.
2. Отрезок, соединяющий любые две точки, принадлежащие многоугольнику, полностью принадлежит этому многоугольнику.
3. Все его внутренние углы меньше $180^\circ$ (или $ \pi $ радиан).

Проверим, удовлетворяет ли параллелограмм этим условиям.

Проверка по первому условию:
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Проведём прямую через любую из его сторон, например, через сторону $AB$. Так как противолежащие стороны параллельны, то вершины $C$ и $D$ (а значит, и вся сторона $CD$) будут лежать в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Это же верно для любой другой стороны. Следовательно, по этому определению параллелограмм является выпуклым.

Проверка по третьему условию:
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Например, для соседних углов $\angle A$ и $\angle B$ выполняется равенство $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Поскольку в невырожденном параллелограмме все углы строго больше $0^\circ$, то из этого следует, что и $\angle A < 180^\circ$, и $\angle B < 180^\circ$. Так как противолежащие углы в параллелограмме равны ($\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$), то все его четыре угла меньше $180^\circ$. Это также подтверждает, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Ответ: Да, является.